[2016年] 设随机变量X与Y相互独立,且X~N(1,2),Y~N(1,4),则D(XY)=( ).

admin2021-01-25  28

问题 [2016年]  设随机变量X与Y相互独立,且X~N(1,2),Y~N(1,4),则D(XY)=(    ).

选项 A、6
B、8
C、14
D、15

答案C

解析 解一  直接利用命题3.4.1.1(1)求之.由X~N(1,2)得到E(X)=1,D(X)=2;由Y~N(1,4)得到E(Y)=1,D(Y)=4.故
    D(XY)=D(X)D(Y)+[E(X)]2D(Y)+[E(Y)]2D(X)=2×4+12×4+12×2=14.
仅(C)入选.
    解二  利用方差和期望的性质求之.
    D(XY)=E(XY)2-[E(XY)]2=E(X2Y2)=[E(XY)]2
因X,Y相互独立,则  E(X2Y2)=E(X2)E(Y2),
而E(X2)=D(X)+[E(X)]2=3,  E(Y2)=D(Y)+[E(Y)]2=1+4=5,即
             E(X2Y2)=15,又E(XY)=E(X)E(Y)=1×1=1,
故  D(XY)=E(X2Y2)-[E(XY)]2=15-1=14.
   仅(C)入选.
    注:命题3.4.1.1  (1)设随机变量X,Y相互独立,则 D(XY)=D(X)D(Y)+[E(X)]2D(Y)+[E(Y)]2D(X)≥D(X)D(Y);
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