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[2016年] 设随机变量X与Y相互独立,且X~N(1,2),Y~N(1,4),则D(XY)=( ).
[2016年] 设随机变量X与Y相互独立,且X~N(1,2),Y~N(1,4),则D(XY)=( ).
admin
2021-01-25
23
问题
[2016年] 设随机变量X与Y相互独立,且X~N(1,2),Y~N(1,4),则D(XY)=( ).
选项
A、6
B、8
C、14
D、15
答案
C
解析
解一 直接利用命题3.4.1.1(1)求之.由X~N(1,2)得到E(X)=1,D(X)=2;由Y~N(1,4)得到E(Y)=1,D(Y)=4.故
D(XY)=D(X)D(Y)+[E(X)]
2
D(Y)+[E(Y)]
2
D(X)=2×4+1
2
×4+1
2
×2=14.
仅(C)入选.
解二 利用方差和期望的性质求之.
D(XY)=E(XY)
2
-[E(XY)]
2
=E(X
2
Y
2
)=[E(XY)]
2
因X,Y相互独立,则 E(X
2
Y
2
)=E(X
2
)E(Y
2
),
而E(X
2
)=D(X)+[E(X)]
2
=3, E(Y
2
)=D(Y)+[E(Y)]
2
=1+4=5,即
E(X
2
Y
2
)=15,又E(XY)=E(X)E(Y)=1×1=1,
故 D(XY)=E(X
2
Y
2
)-[E(XY)]
2
=15-1=14.
仅(C)入选.
注:命题3.4.1.1 (1)设随机变量X,Y相互独立,则 D(XY)=D(X)D(Y)+[E(X)]
2
D(Y)+[E(Y)]
2
D(X)≥D(X)D(Y);
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考研数学三
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