设A．B是n阶矩阵，E—AB可逆，证明E—BA可逆．

admin2016-10-26 58

问题设A．B是n阶矩阵，E—AB可逆，证明E—BA可逆．

选项

答案(反证法) 如｜E－BA｜=0，则齐次方程组(E一BA)x=0有非零解，设η是其非零解，则 (E—BA)η==0，即BAη=η，且η≠0． (*) 对于齐次方程组(E—AB)x=0，由于 (E—AB)Aη=Aη一(AB)Aη=Aη一A(BAη) =Aη一Aη=0，从(*)式易见Aη≠0．这样(E—AB)x=0有非零解Aη，这与E—AB可逆相矛盾．

解析

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