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  3. [2016年] 已知f(x)在[0，]上连续，在(0，)内是函数的一个原函数，f(0)=0．证明：f(x)在区间(0，)内存在唯一零点．

[2016年] 已知f(x)在[0，]上连续，在(0，)内是函数的一个原函数，f(0)=0．证明：f(x)在区间(0，)内存在唯一零点．

admin2019-04-05  48
问题 [2016年]  已知f(x)在[0，]上连续，在(0，)内是函数的一个原函数，f(0)=0．证明：f(x)在区间(0，)内存在唯一零点．
选项
答案 先证f(x)在(0，[*])内无零点，再证在[*]内有唯一零点，为此证f(x)在该区间内单调，且[*]＜0． 证 (II)：因f＇(x)=[*]，当x∈(0，[*])时，2x一3π＜0，故f＇(x)＜0．所以当x∈(0，[*])时，f(x)单调减少，而f(0)=0，故当x∈(0，[*])时，f(x)＜f(0)=0， 即f(x)在(0，[*])内无零点． 因x∈(0，[*])时，f(x)单调减少，故f([*])＜f(0)=0． 知，f(x)在区间[*]上的平均值为[*] 又x∈[*]时，f＇(x)=[*]而cosx＜0，2x一3π＜0，故f＇(x)＞0， 即x∈[*]时，f(x)单调增加，设f(x)在[*]内的平均值为[*]，则 [*]内f(x)＜0)＞0． 因f(x)在[*]单调增加，且f[*]＜0，由命题1．1．7．5知，在该区间内f(x)有唯一零点，而f(x)在(0，[*])内无零点，因而f(x)在(0，[*])内有唯一零点．
解析
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考研数学二

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