[2013年] 求曲线x3一xy+y3=1(x≥0,y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离.

admin2019-04-05  28

问题 [2013年]  求曲线x3一xy+y3=1(x≥0,y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离.

选项

答案 曲线上的点(x,y)到坐标原点的距离为d=[*],其最长距离dmax与最短距离dmin就是d=[*] 在条件x3一xy+y3=1(x≥0,y≥0)下的最大值与最小值.显然用拉格朗日函数法求之. 因d=[*]与f(x,y)=x2+y2在相同点取得最值,故可令拉格朗日函数为 F(x,y,λ)=x2+y2+λ(x3一xy+y3一1) 先求驻点,为此解方程组: [*]=2x+λ(3x2一y)=0, ① [*]=2y+λ(一x+3y2)=0, ② [*]=x3一xy+y3一1=0. ③ 将①×y2一②×x2得到2xy(y—x)+λ(x—y)(x2+xy+y2)=0,因此得到x=y. 将y=x代入式③得到 x3一x2+x3一1=x2(x一1)+(x一1)(x2+x+1)=0, 即(x一1)(2x2+x+1)=0,解得x=1. 得唯一驻点(1,1),又曲线是含端点的曲线段,端点(0,1)与(1,0)也很可能是最值点.比较函数值: d(0,1)=1,d(1,0)=1,d(1,1)=[*]. 因实际问题存在最长距离与最短距离,故最长距离为dmax=√2,最短距离为dmin=1.

解析
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