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[2013年] 求曲线x3一xy+y3=1(x≥0,y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离.
[2013年] 求曲线x3一xy+y3=1(x≥0,y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离.
admin
2019-04-05
53
问题
[2013年] 求曲线x
3
一xy+y
3
=1(x≥0,y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离.
选项
答案
曲线上的点(x,y)到坐标原点的距离为d=[*],其最长距离d
max
与最短距离d
min
就是d=[*] 在条件x
3
一xy+y
3
=1(x≥0,y≥0)下的最大值与最小值.显然用拉格朗日函数法求之. 因d=[*]与f(x,y)=x
2
+y
2
在相同点取得最值,故可令拉格朗日函数为 F(x,y,λ)=x
2
+y
2
+λ(x
3
一xy+y
3
一1) 先求驻点,为此解方程组: [*]=2x+λ(3x
2
一y)=0, ① [*]=2y+λ(一x+3y
2
)=0, ② [*]=x
3
一xy+y
3
一1=0. ③ 将①×y
2
一②×x
2
得到2xy(y—x)+λ(x—y)(x
2
+xy+y
2
)=0,因此得到x=y. 将y=x代入式③得到 x
3
一x
2
+x
3
一1=x
2
(x一1)+(x一1)(x
2
+x+1)=0, 即(x一1)(2x
2
+x+1)=0,解得x=1. 得唯一驻点(1,1),又曲线是含端点的曲线段,端点(0,1)与(1,0)也很可能是最值点.比较函数值: d(0,1)=1,d(1,0)=1,d(1,1)=[*]. 因实际问题存在最长距离与最短距离,故最长距离为d
max
=√2,最短距离为d
min
=1.
解析
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