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求方程karctanx-x=0不同实根的个数,其中k为参数.
求方程karctanx-x=0不同实根的个数,其中k为参数.
admin
2020-05-02
6
问题
求方程karctanx-x=0不同实根的个数,其中k为参数.
选项
答案
令f(x)=karctanx-x,则 [*] 当k<1时,f′(x)<0,f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,故此时f(x)的图像与x轴只有一个交点,也即方程karctanx-x=0只有一个实根. 当k=1时,在(-∞,0)和(0,+∞)上都有f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上严格单调递减.又f(0)=0,故f(x)的图像在(-∞,0)和(0,+∞)与x轴均无交点. 当k>1时,[*]f′(x)>0,则f(x)在[*]上单调增加.由f(0)=0,知f(x)在[*]上只有一个实根.又f(x)在[*]或[*]上都有f′(x)<0,则f(x)在[*]或[*]上都单调递减,又[*]所以f(x)在[*]和[*]内与x轴均有一个交点. 综上所述:当k≤1时,方程karctanx-x=0只有一个实根;当k>1时,方程karctanx-x=0有两个实根.
解析
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考研数学一
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