设三阶方阵A与B相似，且｜2E+A｜=0。已知λ1=1，λ2= —1是方阵B的两个特征值，则｜A+2AB｜= ________。

admin2019-05-14 37

问题设三阶方阵A与B相似，且｜2E+A｜=0。已知λ₁=1，λ₂= —1是方阵B的两个特征值，则｜A+2AB｜= ________。

选项

答案18

解析由｜2E+A｜=0，可得｜—2E—A｜=0，即λ= —2是A的一个特征值。
因A与B相似，且由相似矩阵具有相同的特征值可知，λ₁=1，λ₂= —1也是A的特征值，所以A、B的特征值均为λ₁=1，λ₂= —1，λ₃= —2，则E+2B的三个特征值分别为3，—1，—3。从而可得｜A｜=λ₁λ₂λ₃=2，｜E+2B｜=3×(—1)×(—3)=9，故
｜A+2AB｜=｜A(E+2B)｜=｜A｜.｜E+2B｜=18。

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