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  3. 设α1，α2，α3，α4都是n维向量．判断下列命题是否成立． ①如果α1，α2，α3线性无关，α4不能用α1，α2，α3线性表示，则α1，α2，α3，α4线性无关． ②如果α1，α2线性无关，α3，α4都不能用α1，α2线性表示，则α1，α

设α1，α2，α3，α4都是n维向量．判断下列命题是否成立． ①如果α1，α2，α3线性无关，α4不能用α1，α2，α3线性表示，则α1，α2，α3，α4线性无关． ②如果α1，α2线性无关，α3，α4都不能用α1，α2线性表示，则α1，α

admin2019-05-14  39
问题 设α1，α2，α3，α4都是n维向量．判断下列命题是否成立．
    ①如果α1，α2，α3线性无关，α4不能用α1，α2，α3线性表示，则α1，α2，α3，α4线性无关．
    ②如果α1，α2线性无关，α3，α4都不能用α1，α2线性表示，则α1，α2，α3，α4线性无关．
    ③如果存在n阶矩阵A，使得Aα1，Aα2，Aα3，Aα4线性无关，则α1，α2，α3，α4线性无关．
    ④如果α1＝Aβ1，α2＝Aβ2，α3＝Aβ3，α4＝Aβ4，其中A可逆，β1，β2，β3，β4线性无关，则α1，α2，
α3，α4线性无关．
    其中成立的为_______．(填序号即可)
选项
答案①，③，④．
解析 ①直接由定理即可得到．
    ②明显不对，例如α3不能用α1，α2线性表示，而α3＝α4时，α3，α4都不能用α1，α2线性表示但是
α1，α2，α3，α4线性相关．
    ③容易用秩说明：Aα1，Aα2，Aα3，Aα4的秩即矩阵(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)的秩，而(Aα1，Aα2，
Aα3，Aα4)＝A(α1，α2，α3，α4)，由矩阵秩的性质④，
    r(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)≤r(α1，α2，α3，α4)．Aα1，Aα2，Aα3，Aα4无关．秩为4，于是α1，α2，α3，α4
的秩也一定为4，线性无关．
    ④也可从秩看出：A可逆时，r(α1，α2，α3，α4)＝r(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)＝4．
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