2. 考研
  3. 设f(x)在区间[0，1]上可微，当0≤x＜1时，恒有0＜f(1)＜f(x)，且f’(x)≠f(x)．讨论在(0，1)内存在唯一的点ξ，使得f(ξ)=∫0ξf(t)dt．

设f(x)在区间[0，1]上可微，当0≤x＜1时，恒有0＜f(1)＜f(x)，且f’(x)≠f(x)．讨论在(0，1)内存在唯一的点ξ，使得f(ξ)=∫0ξf(t)dt．

admin2017-07-10  58
问题 设f(x)在区间[0，1]上可微，当0≤x＜1时，恒有0＜f(1)＜f(x)，且f’(x)≠f(x)．讨论在(0，1)内存在唯一的点ξ，使得f(ξ)=∫0ξf(t)dt．
选项
答案先证存在性． 令g(x)=f(x)一∫0xf(t)dt，则g(x)在[0，1]上连续，又 g(0)=f(0)＞0，g(1)=f(1)一∫01f(t)dt=∫01[f(1)-f(t))]dt＜0． 由零点定理知，存在ξ∈(0，1)使得g(ξ)=0，即f(ξ)=∫0ξf(t)dt． 再证唯一性，用反证法． 假设存在ξ1，ξ2(ξ1≠ξ2)满足f(ξ)=∫0ξf(t)dt．不妨设ξ1＜ξ2．显然g(ξ1)=g(ξ2)=0，由罗尔定理，存在η∈(ξ1，ξ2)使得g’(η)=0，即f’(η)-f(η)=0．这与条件f’(x)≠f(x)矛盾．即假设不成立．因此满足f(ξ)=∫0ξf(t)dt的ξ是唯一的．
解析
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考研数学二

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