设f(x)在区间[0，1]上可微，当0≤x＜1时，恒有0＜f(1)＜f(x)，且f’(x)≠f(x)．讨论在(0，1)内存在唯一的点ξ，使得f(ξ)=∫0ξf(t)dt．

admin2017-07-10 86

问题设f(x)在区间[0，1]上可微，当0≤x＜1时，恒有0＜f(1)＜f(x)，且f’(x)≠f(x)．讨论在(0，1)内存在唯一的点ξ，使得f(ξ)=∫₀^ξf(t)dt．

选项

答案先证存在性．令g(x)=f(x)一∫₀^xf(t)dt，则g(x)在[0，1]上连续，又 g(0)=f(0)＞0，g(1)=f(1)一∫₀¹f(t)dt=∫₀¹[f(1)-f(t))]dt＜0．由零点定理知，存在ξ∈(0，1)使得g(ξ)=0，即f(ξ)=∫₀^ξf(t)dt．再证唯一性，用反证法．假设存在ξ₁，ξ₂(ξ₁≠ξ₂)满足f(ξ)=∫₀^ξf(t)dt．不妨设ξ₁＜ξ₂．显然g(ξ₁)=g(ξ₂)=0，由罗尔定理，存在η∈(ξ₁，ξ₂)使得g’(η)=0，即f’(η)-f(η)=0．这与条件f’(x)≠f(x)矛盾．即假设不成立．因此满足f(ξ)=∫₀^ξf(t)dt的ξ是唯一的．

解析

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考研数学二

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设f(x)在区间[0，1]上可微，当0≤x＜1时，恒有0＜f(1)＜f(x)，且f’(x)≠f(x)．讨论在(0，1)内存在唯一的点ξ，使得f(ξ)=∫0ξf(t)dt．

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