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已知α1，α2，α3，α4是线性方程组Ax=0的一个基础解系，若β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα4，β4=α4+tα1，讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是Ax=0的基础解系．
已知α1，α2，α3，α4是线性方程组Ax=0的一个基础解系，若β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα4，β4=α4+tα1，讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是Ax=0的基础解系．
admin
2021-02-25
53
问题
已知α
1
，α
2
，α
3
，α
4
是线性方程组Ax=0的一个基础解系，若β
1
=α
1
+tα
2
，β
2
=α
2
+tα
3
，β
3
=α
3
+tα
4
，β
4
=α
4
+tα
1
，讨论实数t满足什么关系时，β
1
，β
2
，β
3
，β
4
也是Ax=0的基础解系．
选项
答案
证法1：由于 [*] 故β
1
，β
2
，β
3
，β
4
线性无关的充分必要条件是 [*] 即t≠±1时，β
1
，β
2
，β
3
，β
4
为Ax=0的基础解系． 证法2： 设k
1
，k
2
，k
3
，k
4
使 k
1
(α
1
+tα
2
)+k
2
(α
2
+tα
3
)+k
3
(α
3
+tα
4
)+k
4
(α
4
+tα
1
)=0， 即 (k
1
+tk
4
)α
1
+(tk
1
+k
2
)α
2
+(tk
2
+k
3
)α
3
+(tk
3
+k
4
)α
4
=0， 由于α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性无关，得 [*] 此方程组只有零解时，β
1
，β
2
，β
3
，β
4
才是Ax=0的基础解系．以下与“证法1”相同，即当t≠±1时，β
1
，β
2
，β
3
，β
4
是Ax=0的基础解系．
解析
本题考查齐次线性方程组的基础解系的概念、解的性质和向量组线性相关性的证明方法，注意到β
1
，β
2
，β
3
，β
4
是Ax=0的基础解系的充分必要条件是β
1
，β
2
，β
3
，β
4
线性无关．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ca84777K
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