已知α1，α2，α3，α4是线性方程组Ax=0的一个基础解系，若β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα4，β4=α4+tα1，讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是Ax=0的基础解系．

admin2021-02-25 45

问题已知α₁，α₂，α₃，α₄是线性方程组Ax=0的一个基础解系，若β₁=α₁+tα₂，β₂=α₂+tα₃，β₃=α₃+tα₄，β₄=α₄+tα₁，讨论实数t满足什么关系时，β₁，β₂，β₃，β₄也是Ax=0的基础解系．

选项

答案证法1：由于 [*] 故β₁，β₂，β₃，β₄线性无关的充分必要条件是 [*] 即t≠±1时，β₁，β₂，β₃，β₄为Ax=0的基础解系．证法2：设k¹，k²，k³，k⁴使 k₁(α₁+tα₂)+k₂(α₂+tα₃)+k₃(α₃+tα₄)+k₄(α₄+tα₁)=0，即 (k₁+tk₄)α₁+(tk₁+k₂)α₂+(tk₂+k₃)α₃+(tk₃+k₄)α₄=0，由于α₁，α₂，α₃，α₄线性无关，得 [*] 此方程组只有零解时，β₁，β₂，β₃，β₄才是Ax=0的基础解系．以下与“证法1”相同，即当t≠±1时，β₁，β₂，β₃，β₄是Ax=0的基础解系．

解析本题考查齐次线性方程组的基础解系的概念、解的性质和向量组线性相关性的证明方法，注意到β₁，β₂，β₃，β₄是Ax=0的基础解系的充分必要条件是β₁，β₂，β₃，β₄线性无关．

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考研数学二

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已知α1，α2，α3，α4是线性方程组Ax=0的一个基础解系，若β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα4，β4=α4+tα1，讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是Ax=0的基础解系．

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