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已知α1,α2,α3,α4是线性方程组Ax=0的一个基础解系,若β1=α1+tα2,β2=α2+tα3,β3=α3+tα4,β4=α4+tα1,讨论实数t满足什么关系时,β1,β2,β3,β4也是Ax=0的基础解系.
已知α1,α2,α3,α4是线性方程组Ax=0的一个基础解系,若β1=α1+tα2,β2=α2+tα3,β3=α3+tα4,β4=α4+tα1,讨论实数t满足什么关系时,β1,β2,β3,β4也是Ax=0的基础解系.
admin
2021-02-25
53
问题
已知α
1
,α
2
,α
3
,α
4
是线性方程组Ax=0的一个基础解系,若β
1
=α
1
+tα
2
,β
2
=α
2
+tα
3
,β
3
=α
3
+tα
4
,β
4
=α
4
+tα
1
,讨论实数t满足什么关系时,β
1
,β
2
,β
3
,β
4
也是Ax=0的基础解系.
选项
答案
证法1:由于 [*] 故β
1
,β
2
,β
3
,β
4
线性无关的充分必要条件是 [*] 即t≠±1时,β
1
,β
2
,β
3
,β
4
为Ax=0的基础解系. 证法2: 设k
1
,k
2
,k
3
,k
4
使 k
1
(α
1
+tα
2
)+k
2
(α
2
+tα
3
)+k
3
(α
3
+tα
4
)+k
4
(α
4
+tα
1
)=0, 即 (k
1
+tk
4
)α
1
+(tk
1
+k
2
)α
2
+(tk
2
+k
3
)α
3
+(tk
3
+k
4
)α
4
=0, 由于α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关,得 [*] 此方程组只有零解时,β
1
,β
2
,β
3
,β
4
才是Ax=0的基础解系.以下与“证法1”相同,即当t≠±1时,β
1
,β
2
,β
3
,β
4
是Ax=0的基础解系.
解析
本题考查齐次线性方程组的基础解系的概念、解的性质和向量组线性相关性的证明方法,注意到β
1
,β
2
,β
3
,β
4
是Ax=0的基础解系的充分必要条件是β
1
,β
2
,β
3
,β
4
线性无关.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ca84777K
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考研数学二
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