2. 考研
  3. 已知α1，α2，α3，α4是线性方程组Ax=0的一个基础解系，若β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα4，β4=α4+tα1，讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是Ax=0的基础解系．

已知α1，α2，α3，α4是线性方程组Ax=0的一个基础解系，若β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα4，β4=α4+tα1，讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是Ax=0的基础解系．

admin2021-02-25  71
问题 已知α1，α2，α3，α4是线性方程组Ax=0的一个基础解系，若β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα4，β4=α4+tα1，讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是Ax=0的基础解系．
选项
答案证法1：由于 [*] 故β1，β2，β3，β4线性无关的充分必要条件是 [*] 即t≠±1时，β1，β2，β3，β4为Ax=0的基础解系． 证法2： 设k1，k2，k3，k4使 k1(α1+tα2)+k2(α2+tα3)+k3(α3+tα4)+k4(α4+tα1)=0， 即 (k1+tk4)α1+(tk1+k2)α2+(tk2+k3)α3+(tk3+k4)α4=0， 由于α1，α2，α3，α4线性无关，得 [*] 此方程组只有零解时，β1，β2，β3，β4才是Ax=0的基础解系．以下与“证法1”相同，即当t≠±1时，β1，β2，β3，β4是Ax=0的基础解系．
解析 本题考查齐次线性方程组的基础解系的概念、解的性质和向量组线性相关性的证明方法，注意到β1，β2，β3，β4是Ax=0的基础解系的充分必要条件是β1，β2，β3，β4线性无关．
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考研数学二

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