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设f(x)在[0,1]上二阶连续可导且f(0)=f(1),又|f’’(x)|≤M,证明:|f’(x)|≤.
设f(x)在[0,1]上二阶连续可导且f(0)=f(1),又|f’’(x)|≤M,证明:|f’(x)|≤.
admin
2018-05-23
38
问题
设f(x)在[0,1]上二阶连续可导且f(0)=f(1),又|f
’’
(x)|≤M,证明:|f
’
(x)|≤
.
选项
答案
由泰勒公式得 f(0)=f(x)+f
’
(x)(0一x)+[*](0一x)
2
,ξ∈(0,x), f(1)=f(x)+f
’
(x)(1—x)+[*](1一x)
2
,η∈(x,1), 两式相减得f
’
(x)=[*][f
’’
(ξ)x
2
一f
’’
(η)(1一x)
2
], 取绝对值得|f
’
(x)|≤[*][x
2
+(1一x)
2
], 因为x
2
≤x,(1一x)
2
≤1一x,所以x
2
+(1一x)
2
≤1,故|f
’
(x)|≤[*].
解析
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考研数学一
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