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  3. 设A=，则在实数域上与A合同的矩阵为( )

设A=，则在实数域上与A合同的矩阵为( )

admin2019-03-11  50
问题 设A=，则在实数域上与A合同的矩阵为(    )
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案D
解析 1 记D选项中的矩阵为D，则由
|λE－A|

=λ2－2λ－3=(λ－3)(λ+1)，
|λE－D|

=λ2－2λ－3=(λ－3)(λ+1)
知A与D有相同的特征值3与－1，它们又都是实对称矩阵，因此存在正交矩阵P与Q，使PTAP==QTDQ，QPTAPQT=D，或(PQT)A(PQT)=D，其中PQT可逆，所以A与D合同．
2 由于|A|=|D|=－3＜0，因此实对称矩阵A的两个特征值异号(D亦是)，从而知二次型xTAx及二次型xTDx有相同的规范形z12－z22，从矩阵角度讲，就是存在可逆矩阵C1，C2，使C1TAC1==C2TDC2，由此得(C1C2－1)TA(C1C2－1)=D，且C1C2－1可逆，故A与D合同．
3 对于二次型f(x1，x2)=xTAx=x12+4x1x2+x22，由于f(1，0)=1＞0，f(－2，1)=－3＜0，所以A是不定的．由顺序主子式法知备选项A、B、C中的矩阵分别是负定的、正定的、正定的，由于合同的矩阵有相同的正(负)定性，因此备选项A、B、C中的矩阵都不与矩阵A合同，只有备选项D正确(也易判定D中的矩阵是不定的)．
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考研数学三

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