设A=，则在实数域上与A合同的矩阵为( )

admin2019-03-11 46

问题设A=

，则在实数域上与A合同的矩阵为( )

选项 A、
B、
C、
D、

答案D

解析 1 记D选项中的矩阵为D，则由
|λE－A|

=λ²－2λ－3=(λ－3)(λ+1)，
|λE－D|

=λ²－2λ－3=(λ－3)(λ+1)
知A与D有相同的特征值3与－1，它们又都是实对称矩阵，因此存在正交矩阵P与Q，使P^TAP=

=Q^TDQ，

QP^TAPQ^T=D，或(PQ^T)A(PQ^T)=D，其中PQ^T可逆，所以A与D合同．
2 由于|A|=|D|=－3＜0，因此实对称矩阵A的两个特征值异号(D亦是)，从而知二次型x^TAx及二次型x^TDx有相同的规范形z₁²－z₂²，从矩阵角度讲，就是存在可逆矩阵C₁，C₂，使C₁^TAC₁=

=C₂^TDC₂，由此得(C₁C₂^－1)^TA(C₁C₂^－1)=D，且C₁C₂^－1可逆，故A与D合同．
3 对于二次型f(x₁，x₂)=x^TAx=x₁²+4x₁x₂+x₂²，由于f(1，0)=1＞0，f(－2，1)=－3＜0，所以A是不定的．由顺序主子式法知备选项A、B、C中的矩阵分别是负定的、正定的、正定的，由于合同的矩阵有相同的正(负)定性，因此备选项A、B、C中的矩阵都不与矩阵A合同，只有备选项D正确(也易判定D中的矩阵是不定的)．

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考研数学三

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