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  3. 求齐次线性方程组的基础解系．

求齐次线性方程组的基础解系．

admin2019-05-08  43
问题 求齐次线性方程组的基础解系．
选项
答案解一 用高斯消元法求之．对系数矩阵进行初等行变换化为行阶梯形矩阵 [*] 由非零行的第1个非零元素所在的列可知x1，x2，x3为独立变量，x2，x3为自由变量，则用自由变量表示的独立变量的等价方程组为 [*] 令x2=1，x3=0，代入方程组①得到解向量[x1，x2，x3，x4，x5]=[－1，1，0，0，0]T=α1． 令x2=0，x5=1，代入方程组①得到另一解向量[x1，x2，x3，x4，x5]T=[－1，0，－1，0，1]T=α2，该方程组的一个基础解系为 α1=[－1，1，0，0，0]T， α2=[－1，0，－1，0，1]T． 解二 用简便求法求之．为此，用初等行变换将A化成含最高阶单位矩阵的矩阵，即 [*] 其中A1已是含最高阶(三阶)单位矩阵的矩阵，而且含有2个三阶单位矩阵，第一个是在第1，2，3行，第1，3，4列；第2个是在第1，2，3行，第2，3，4列．为方便计，取第1个单位矩阵计算．除单位矩阵所在的列以外，A1中还有两列，因而一个基础解系含有2个解向量α1，α2．因第1个单位矩阵在第1，3，4列，故α1，α2的第1，3，4个元素分别为第2列、第5列的前3个元素反号， 即 α1=[－1，a12，－0，－0，a15]T=[－1，a12，0，0，a15]T， α2=[－1，a22，－1，－0，a25]T=[－1，a22，－1，0，a25]T． 而α1与α2中的第2、5个元素aij(i=1，2；j=2，5)依次组成二阶单位矩阵[*]即α1=[－1，1，0，0，0]T，α2=[－1，0，－1，0，1]T为所求的一个基础解系．
解析
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考研数学三

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