求齐次线性方程组的基础解系.

admin2019-05-08  45

问题 求齐次线性方程组的基础解系.

选项

答案解一 用高斯消元法求之.对系数矩阵进行初等行变换化为行阶梯形矩阵 [*] 由非零行的第1个非零元素所在的列可知x1,x2,x3为独立变量,x2,x3为自由变量,则用自由变量表示的独立变量的等价方程组为 [*] 令x2=1,x3=0,代入方程组①得到解向量[x1,x2,x3,x4,x5]=[-1,1,0,0,0]T1. 令x2=0,x5=1,代入方程组①得到另一解向量[x1,x2,x3,x4,x5]T=[-1,0,-1,0,1]T2,该方程组的一个基础解系为 α1=[-1,1,0,0,0]T, α2=[-1,0,-1,0,1]T. 解二 用简便求法求之.为此,用初等行变换将A化成含最高阶单位矩阵的矩阵,即 [*] 其中A1已是含最高阶(三阶)单位矩阵的矩阵,而且含有2个三阶单位矩阵,第一个是在第1,2,3行,第1,3,4列;第2个是在第1,2,3行,第2,3,4列.为方便计,取第1个单位矩阵计算.除单位矩阵所在的列以外,A1中还有两列,因而一个基础解系含有2个解向量α1,α2.因第1个单位矩阵在第1,3,4列,故α1,α2的第1,3,4个元素分别为第2列、第5列的前3个元素反号, 即 α1=[-1,a12,-0,-0,a15]T=[-1,a12,0,0,a15]T, α2=[-1,a22,-1,-0,a25]T=[-1,a22,-1,0,a25]T. 而α1与α2中的第2、5个元素aij(i=1,2;j=2,5)依次组成二阶单位矩阵[*]即α1=[-1,1,0,0,0]T,α2=[-1,0,-1,0,1]T为所求的一个基础解系.

解析
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