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考研
求齐次线性方程组的基础解系.
求齐次线性方程组的基础解系.
admin
2019-05-08
56
问题
求齐次线性方程组
的基础解系.
选项
答案
解一 用高斯消元法求之.对系数矩阵进行初等行变换化为行阶梯形矩阵 [*] 由非零行的第1个非零元素所在的列可知x
1
,x
2
,x
3
为独立变量,x
2
,x
3
为自由变量,则用自由变量表示的独立变量的等价方程组为 [*] 令x
2
=1,x
3
=0,代入方程组①得到解向量[x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
]=[-1,1,0,0,0]
T
=α
1
. 令x
2
=0,x
5
=1,代入方程组①得到另一解向量[x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
]
T
=[-1,0,-1,0,1]
T
=α
2
,该方程组的一个基础解系为 α
1
=[-1,1,0,0,0]
T
, α
2
=[-1,0,-1,0,1]
T
. 解二 用简便求法求之.为此,用初等行变换将A化成含最高阶单位矩阵的矩阵,即 [*] 其中A
1
已是含最高阶(三阶)单位矩阵的矩阵,而且含有2个三阶单位矩阵,第一个是在第1,2,3行,第1,3,4列;第2个是在第1,2,3行,第2,3,4列.为方便计,取第1个单位矩阵计算.除单位矩阵所在的列以外,A
1
中还有两列,因而一个基础解系含有2个解向量α
1
,α
2
.因第1个单位矩阵在第1,3,4列,故α
1
,α
2
的第1,3,4个元素分别为第2列、第5列的前3个元素反号, 即 α
1
=[-1,a
12
,-0,-0,a
15
]
T
=[-1,a
12
,0,0,a
15
]
T
, α
2
=[-1,a
22
,-1,-0,a
25
]
T
=[-1,a
22
,-1,0,a
25
]
T
. 而α
1
与α
2
中的第2、5个元素a
ij
(i=1,2;j=2,5)依次组成二阶单位矩阵[*]即α
1
=[-1,1,0,0,0]
T
,α
2
=[-1,0,-1,0,1]
T
为所求的一个基础解系.
解析
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考研数学三
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