设A为n阶方阵，且n≥2。证明｜A｜=｜(一A)｜。

admin2018-12-19 39

问题设A为n阶方阵，且n≥2。证明｜A^*｜=｜(一A)^*｜。

选项

答案方法一：设A=(a_ij)，｜A｜中元素a_ij的代数余子式为A_ij，则｜一A｜中一a_ij的代数余子式B_ij=(一1)^n—1A_ij。于是，(一A)^*=(一1)^n—1A^*。所以｜(一A)^*｜=｜(一1)^n—1A^*｜=[(一1)^n—1]ⁿ｜A^*｜=｜A^*｜。方法二：若A不可逆，则(一A)和A^*也不可逆，从而(一A)^*也不可逆，故｜A^*｜=｜(一A)^*｜=0。若A可逆，则由AA^*=｜A｜E可得(一A)(一A)^*=｜—A｜E，于是 (一A)^*=｜—A｜(一A)^—1=(一1)ⁿ｜A｜·(一1)A^—1=(一1)^n—1A^*，故有｜(一A)^*｜=｜(一1)^n—1A^*｜=(一1)^(n—1)n｜A^*｜=｜A^*｜。

解析

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