设A为n阶方阵,且n≥2。证明|A*|=|(一A)*|。

admin2018-12-19  29

问题 设A为n阶方阵,且n≥2。证明|A*|=|(一A)*|。

选项

答案方法一:设A=(aij),|A|中元素aij的代数余子式为Aij,则|一A|中一aij的代数余子式Bij=(一1)n—1Aij。于是,(一A)*=(一1)n—1A*。所以 |(一A)*|=|(一1)n—1A*|=[(一1)n—1]n|A*|=|A*|。 方法二:若A不可逆,则(一A)和A*也不可逆,从而(一A)*也不可逆,故|A*|=|(一A)*|=0。 若A可逆,则由AA*=|A|E可得(一A)(一A)*=|—A|E,于是 (一A)*=|—A|(一A)—1=(一1)n|A|·(一1)A—1=(一1)n—1A*, 故有 |(一A)*|=|(一1)n—1A*|=(一1)(n—1)n|A*|=|A*|。

解析
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