设α，β为四维非零的正交向量，且A=αβT．则A的线性无关的特征向量个数为( )．

admin2016-05-17 90

问题设α，β为四维非零的正交向量，且A=αβ^T．则A的线性无关的特征向量个数为( )．

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案C

解析令AX=λX，则A²X=λ²X，因为α，β正交，所以α^Tβ=β^Tα=0，A²=αβ^T.αβ^T=O，于是λ²X=0，故λ₁=λ₂=λ₃=λ₄=0，因为α，β为非零向量，所以A为非零矩阵，故r(A)≥1；又r(A)=r(αβ^T)≤r(α)=1，所以r(A)=1．
因为4－r(0E－A)=4－r(A)=3，所以A的线性无关的特征向量是3个，选(C)．

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