设函数f(χ)在(－∞，＋∞)上连续，则( )

admin2017-11-30 44

问题设函数f(χ)在(－∞，＋∞)上连续，则( )

选项 A、函数∫₀^χt²[f(t)＋f(－t)]dt必是奇函数。
B、函数∫₀^χt²[f(t)－f(－t)]dt必是奇函数。
C、函数∫₀^χ[f(t)]³dt必是奇函数。
D、函数∫₀^χf(t³)dt必是奇函数。

答案A

解析令F(χ)＝χ²[f(χ)＋f(－χ)]，由题设知F(χ)是(－∞，＋∞)上的连续函数，且
F(－χ)＝(－χ)²[f(－χ)＋f(χ)]＝χ²[f(χ)＋f(－χ)]＝F(χ)，
即F(χ)是偶函数，于是对任意的χ∈(－∞，＋∞)，
G(χ)＝∫₀^χt²[f(t)＋f(－t)]dt＝∫₀^χf(t)dt，
满足G(－χ)＝∫₀^－χF(t)dt

∫₀^χF(－u)(－du)
＝－∫F(－u)du＝－F(u)du＝－G(χ)，
即G(χ)是奇函数，故选项A正确。

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