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  3. 设函数f(χ)在(－∞，＋∞)上连续，则( )

设函数f(χ)在(－∞，＋∞)上连续，则( )

admin2017-11-30  52
问题 设函数f(χ)在(－∞，＋∞)上连续，则(    )
选项 A、函数∫0χt2[f(t)＋f(－t)]dt必是奇函数。
B、函数∫0χt2[f(t)－f(－t)]dt必是奇函数。
C、函数∫0χ[f(t)]3dt必是奇函数。
D、函数∫0χf(t3)dt必是奇函数。
答案A
解析 令F(χ)＝χ2[f(χ)＋f(－χ)]，由题设知F(χ)是(－∞，＋∞)上的连续函数，且
    F(－χ)＝(－χ)2[f(－χ)＋f(χ)]＝χ2[f(χ)＋f(－χ)]＝F(χ)，
    即F(χ)是偶函数，于是对任意的χ∈(－∞，＋∞)，
    G(χ)＝∫0χt2[f(t)＋f(－t)]dt＝∫0χf(t)dt，
    满足G(－χ)＝∫0－χF(t)dt∫0χF(－u)(－du)
    ＝－∫F(－u)du＝－F(u)du＝－G(χ)，
    即G(χ)是奇函数，故选项A正确。
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