设二次型f(x1,x2,…,xn)=xT,且|A|

admin2018-07-26  18

问题 设二次型f(x1,x2,…,xn)=xT,且|A|<0.
证明:存在n维列向量ξ0,使得ξ0T0<0;

选项

答案设A有特征值λi,i=0,1,2,…,n一1,则[*]. 可知A有奇数个特征值小于零.设λ0<0,其对应的特征向量为ξ0,则有Aξ0=λ0ξ0,其中ξ0≠0.两端左边乘ξ0T,得ξ0T0=λ0ξ0Tξ0。因ξ0≠0,故有ξ0Tξ0>0. 又λ0<0,故ξ0Tξ0=λ0ξ0Tξ0<0,得证存在n维列向量ξ0,使ξ0T0<0.

解析
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