已知α=(1,一2,2)T是二次型xTAx=一4x1x2+4x1x3—8x2x3矩阵A的特征向量,求正交变换化二次型为标准形,并写出所用正交变换.

admin2019-02-26  43

问题 已知α=(1,一2,2)T是二次型xTAx=一4x1x2+4x1x3—8x2x3矩阵A的特征向量,求正交变换化二次型为标准形,并写出所用正交变换.

选项

答案二次型矩阵A=[*].设α=(1,一2,2)T是矩阵A属于特征值λ的特征向量,则 [*] 于是 [*] 从而A=[*].由特征多项式 [*] 可知矩阵A的特征值为0,0,9. 对λ=0,由(0E一A)x=0得基础解系α1=(2,1,0)T,α2=(一2,0,1)T. 因为α1,α2不正交,故需Schmidt正交化,即 β11=(2,1,0)T,β22一[*](一2,4,5)T. 把β1,β2,α单位化,得 [*] 那么经正交变换 [*] 因此,二次型化为标准形xTAx=yTAy=[*].

解析
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