设f(x)在[0,1]上连续，证明∫0πxf(sinx)dx=π

admin2022-09-05 59

问题设f(x)在[0,1]上连续，证明∫₀^πxf(sinx)dx=π

选项

答案左端=∫₀^πxf(sinx)dx[*]∫₀^π(π－u)f(sinu)(－du) =∫₀^π(π－u)f(sinu)du=π∫₀^πf(sinx)dx－∫₀^πxf(sinx)dx 即2∫₀^πxf(sinx)dx=π∫₀^πf(sinx)dx，从而 ∫₀^πxf(sinx)dx=[*]∫₀^πf(sinx)dx=[*][*] 要使等式成立，必须使 [*] 比较上式两边被积函数，则令x=π－t，于是 [*] 所以∫₀^xxf(sinx)dx=[*]

解析

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