2. 考研
  3. 设有n元实二次型 f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn－1+an－1xn)2+(xn+anx1)2， 其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，…，

设有n元实二次型 f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn－1+an－1xn)2+(xn+anx1)2， 其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，…，

admin2019-07-16  44
问题 设有n元实二次型
f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn－1+an－1xn)2+(xn+anx1)2，
其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，…，xn)为正定二次型．
选项
答案由题设条件知，对任意的x1，x2，…，xn，有 f(x1，x2，…，xn)≥0 其中等号成立当且仅当 [*] 方程组(*)仅有零解的充分必要条件是其系数行列式不为零，即 [*] =1+(－1)n+1a1a2…an≠0 所以，当1+(－1)n+1a1a2…an≠0时，对于任意的不全为零的x1，x2，…，xn，有f(x1，x2，…，xn)＞0，即当a1，a2…，an≠(－1)n时，二次型f为正定二次型．
解析
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考研数学三

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