2. 考研
  3. 设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y’(z)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及到x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一S2

设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y’(z)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及到x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一S2

admin2021-08-05  49
问题 设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y’(z)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及到x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．
选项
答案曲线y=y(x)上点P(x，y)处的切线方程为Y—y=y’(x)(X—x)，它与x轴的交点为[*]，由于y’(x)＞0，y(0)=1，从而y(x)＞0(x≥0)，于是 [*] 又S2=∫1xy(t)dt，由条件由条件2S1—S2=1，知 [*] 两边对x求导得[*]，即y”=(y’)2．令p=y’，则上述方程可化为[*]=p2，从而[*]，解得p=C1y，即[*]=C1y，于是[*]． 注意到y(0)=1，并由(*)式得y’(0)=1．由此可得C1=1，C2=0，故所求曲线的方程是y=ex．
解析
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考研数学二

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