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  3. 曲面z=13-x2-y2将球面x2+y2+z2=25分成三部分，试求这三部分曲面的面积之比．

曲面z=13-x2-y2将球面x2+y2+z2=25分成三部分，试求这三部分曲面的面积之比．

admin2022-07-21  52
问题 曲面z=13-x2-y2将球面x2+y2+z2=25分成三部分，试求这三部分曲面的面积之比．
选项
答案先求曲面的交线，联立两个曲面方程得z2-z-12=0，即z=-3或z=4．因此交线有两条，分别为 [*] 记球面在平面z=4上方的部分为S1，夹在平面z=-3和z=4之间的部分为S2，剩下的部分即为S3．三者的总面积为球面面积为100π，故只需计算出两部分面积即可． 曲面S1与S3在xOy面的投影区域分别为 σ1={(x，y)｜x2+y2≤9}，σ3={(x，y)｜x2+y2≤16} 球面上的微元 [*] 因此，用第一类曲面积分计算S1的面积，并用极坐标计算面积，得 [*] 同理S3的面积为 [*] 所以S2=100π-10π-20π=70π．S1，S2，S3的面积之比为10π：70π：20π=1：7：2．
解析
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考研数学三

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