曲面z=13-x2-y2将球面x2+y2+z2=25分成三部分,试求这三部分曲面的面积之比.

admin2022-07-21  48

问题 曲面z=13-x2-y2将球面x2+y2+z2=25分成三部分,试求这三部分曲面的面积之比.

选项

答案先求曲面的交线,联立两个曲面方程得z2-z-12=0,即z=-3或z=4.因此交线有两条,分别为 [*] 记球面在平面z=4上方的部分为S1,夹在平面z=-3和z=4之间的部分为S2,剩下的部分即为S3.三者的总面积为球面面积为100π,故只需计算出两部分面积即可. 曲面S1与S3在xOy面的投影区域分别为 σ1={(x,y)|x2+y2≤9},σ3={(x,y)|x2+y2≤16} 球面上的微元 [*] 因此,用第一类曲面积分计算S1的面积,并用极坐标计算面积,得 [*] 同理S3的面积为 [*] 所以S2=100π-10π-20π=70π.S1,S2,S3的面积之比为10π:70π:20π=1:7:2.

解析
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