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设B是可逆矩阵,A和B同阶,且满足A2+AB+B2=O,证明A和A+B都是可逆矩阵,并求A-1和(A+B)-1.
设B是可逆矩阵,A和B同阶,且满足A2+AB+B2=O,证明A和A+B都是可逆矩阵,并求A-1和(A+B)-1.
admin
2018-09-20
75
问题
设B是可逆矩阵,A和B同阶,且满足A
2
+AB+B
2
=O,证明A和A+B都是可逆矩阵,并求A
-1
和(A+B)
-1
.
选项
答案
由题设:A
2
+AB+B
2
=O,得 A(A+B)=-B
2
. ① ①式两端右边乘(-B
2
)
-1
,得A(A+B)(-B
2
)
-1
=E,得A可逆,且 A
-1
=(A+B)(一B
2
)
-1
. ①式两端左边乘(一B
2
)
-1
,得(一B
2
)
-1
A(A+B)=E,得A+B可逆,且 (A+B)
-1
=(一B
2
)
-1
A.
解析
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0
考研数学三
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