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  3. 设B是可逆矩阵，A和B同阶，且满足A2+AB+B2=O,证明A和A+B都是可逆矩阵，并求A-1和(A+B)-1．

设B是可逆矩阵，A和B同阶，且满足A2+AB+B2=O,证明A和A+B都是可逆矩阵，并求A-1和(A+B)-1．

admin2018-09-20  88
问题 设B是可逆矩阵，A和B同阶，且满足A2+AB+B2=O,证明A和A+B都是可逆矩阵，并求A-1和(A+B)-1．
选项
答案由题设：A2+AB+B2=O，得 A(A+B)=-B2． ① ①式两端右边乘(-B2)-1，得A(A+B)(-B2)-1=E，得A可逆，且 A-1=(A+B)(一B2)-1． ①式两端左边乘(一B2)-1，得(一B2)-1A(A+B)=E，得A+B可逆，且 (A+B)-1=(一B2)-1A．
解析
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考研数学三

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