设B是可逆矩阵，A和B同阶，且满足A2+AB+B2=O,证明A和A+B都是可逆矩阵，并求A-1和(A+B)-1．

admin2018-09-20 41

问题设B是可逆矩阵，A和B同阶，且满足A²+AB+B²=O,证明A和A+B都是可逆矩阵，并求A^-1和(A+B)^-1．

选项

答案由题设：A²+AB+B²=O，得 A(A+B)=-B²． ① ①式两端右边乘(-B²)^-1，得A(A+B)(-B²)^-1=E，得A可逆，且 A^-1=(A+B)(一B²)^-1． ①式两端左边乘(一B²)^-1，得(一B²)^-1A(A+B)=E，得A+B可逆，且 (A+B)^-1=(一B²)^-1A．

解析

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