设B是可逆矩阵,A和B同阶,且满足A2+AB+B2=O,证明A和A+B都是可逆矩阵,并求A-1和(A+B)-1.

admin2018-09-20  32

问题 设B是可逆矩阵,A和B同阶,且满足A2+AB+B2=O,证明A和A+B都是可逆矩阵,并求A-1和(A+B)-1

选项

答案由题设:A2+AB+B2=O,得 A(A+B)=-B2. ① ①式两端右边乘(-B2)-1,得A(A+B)(-B2)-1=E,得A可逆,且 A-1=(A+B)(一B2)-1. ①式两端左边乘(一B2)-1,得(一B2)-1A(A+B)=E,得A+B可逆,且 (A+B)-1=(一B2)-1A.

解析
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