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  3. 已知α1，α2，α3，α4是线性方程组Ax＝0的一个基础解系，若β1＝α1＋tα2， β2＝α2＋tα3，β3＝α3＋tα4，β4＝α4＋tα1，讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是Ax＝0的一个基础解系?

已知α1，α2，α3，α4是线性方程组Ax＝0的一个基础解系，若β1＝α1＋tα2， β2＝α2＋tα3，β3＝α3＋tα4，β4＝α4＋tα1，讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是Ax＝0的一个基础解系?

admin2021-01-19  104
问题 已知α1，α2，α3，α4是线性方程组Ax＝0的一个基础解系，若β1＝α1＋tα2，
β2＝α2＋tα3，β3＝α3＋tα4，β4＝α4＋tα1，讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是Ax＝0的一个基础解系?
选项
答案由于β1，β2，β3，β4均为α1，α2，α3，α4的线性组合，所以β1，β2，β3，β4均为Ax＝ 0的解．下面证明β1，β2，β3，β4线性无关．设 k1β1＋k2β2＋k3β3＋k4β4＝0， 即 (k1＋tk4)α1＋(tk1＋k2)α2＋(tk2＋k3)α3＋(tk3＋k4)α4＝0， 由于α1，α2，α3，α4线性无关，因此其系数全为零，即 [*] 其系数行列式[*] 可见，当1－t4≠0，即t≠±1时，上述方程组只有零解k1＝k2＝k3＝k4＝0，因此向量组β1，β2，β3，β4线性无关，从而β1，β2，β3，β4也为Ax＝0的一个基础解系．
解析 [分析]  基础解系应满足两个条件：首先应是解向量，其次应线性无关且向量个数为
s＝n－r(A)．本题的关键是证明β1，β2，β3，β4线性无关，而抽象向量组的线性无关性的证明一般都采用定义法．
    [评注]  对于一个抽象向量组的线性相关性的讨论，基本方法有定义法(如本题的证明)和等价法，若已知条件中包含矩阵等式或矩阵关系式时，可考虑转化为矩阵的秩来进行判断．
    本题也可用等价法证明：由题设，向量组β1，β2，β3，β4可由向量组β1，β2，β3，β4线性表示，且有
(β1，β2，β3，β4)＝(α1，α2，α3，α4)
可见，向量组α1，α2，α3，α4可由向量组β1，β2，β3，β4线性表示的充要条件是行列式

即当t≠±1时，向量组α1，α2，α3，α4与向量组β1，β2，β3，β4等价，从而有向量组β1，β2，β3，β4线性无关，因此也为Ax＝0的一个基础解系．
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考研数学二

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