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已知α1,α2,α3,α4是线性方程组Ax=0的一个基础解系,若β1=α1+tα2, β2=α2+tα3,β3=α3+tα4,β4=α4+tα1,讨论实数t满足什么关系时,β1,β2,β3,β4也是Ax=0的一个基础解系?
已知α1,α2,α3,α4是线性方程组Ax=0的一个基础解系,若β1=α1+tα2, β2=α2+tα3,β3=α3+tα4,β4=α4+tα1,讨论实数t满足什么关系时,β1,β2,β3,β4也是Ax=0的一个基础解系?
admin
2021-01-19
107
问题
已知α
1
,α
2
,α
3
,α
4
是线性方程组Ax=0的一个基础解系,若β
1
=α
1
+tα
2
,
β
2
=α
2
+tα
3
,β
3
=α
3
+tα
4
,β
4
=α
4
+tα
1
,讨论实数t满足什么关系时,β
1
,β
2
,β
3
,β
4
也是Ax=0的一个基础解系?
选项
答案
由于β
1
,β
2
,β
3
,β
4
均为α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的线性组合,所以β
1
,β
2
,β
3
,β
4
均为Ax= 0的解.下面证明β
1
,β
2
,β
3
,β
4
线性无关.设 k
1
β
1
+k
2
β
2
+k
3
β
3
+k
4
β
4
=0, 即 (k
1
+tk
4
)α
1
+(tk
1
+k
2
)α
2
+(tk
2
+k
3
)α
3
+(tk
3
+k
4
)α
4
=0, 由于α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关,因此其系数全为零,即 [*] 其系数行列式[*] 可见,当1-t
4
≠0,即t≠±1时,上述方程组只有零解k
1
=k
2
=k
3
=k
4
=0,因此向量组β
1
,β
2
,β
3
,β
4
线性无关,从而β
1
,β
2
,β
3
,β
4
也为Ax=0的一个基础解系.
解析
[分析] 基础解系应满足两个条件:首先应是解向量,其次应线性无关且向量个数为
s=n-r(A).本题的关键是证明β
1
,β
2
,β
3
,β
4
线性无关,而抽象向量组的线性无关性的证明一般都采用定义法.
[评注] 对于一个抽象向量组的线性相关性的讨论,基本方法有定义法(如本题的证明)和等价法,若已知条件中包含矩阵等式或矩阵关系式时,可考虑转化为矩阵的秩来进行判断.
本题也可用等价法证明:由题设,向量组β
1
,β
2
,β
3
,β
4
可由向量组β
1
,β
2
,β
3
,β
4
线性表示,且有
(β
1
,β
2
,β
3
,β
4
)=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)
可见,向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
可由向量组β
1
,β
2
,β
3
,β
4
线性表示的充要条件是行列式
即当t≠±1时,向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
与向量组β
1
,β
2
,β
3
,β
4
等价,从而有向量组β
1
,β
2
,β
3
,β
4
线性无关,因此也为Ax=0的一个基础解系.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/dV84777K
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考研数学二
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