已知α1,α2,α3,α4是线性方程组Ax=0的一个基础解系,若β1=α1+tα2, β2=α2+tα3,β3=α3+tα4,β4=α4+tα1,讨论实数t满足什么关系时,β1,β2,β3,β4也是Ax=0的一个基础解系?

admin2021-01-19  36

问题 已知α1,α2,α3,α4是线性方程组Ax=0的一个基础解系,若β1=α1+tα2
β2=α2+tα3,β3=α3+tα4,β4=α4+tα1,讨论实数t满足什么关系时,β1,β2,β3,β4也是Ax=0的一个基础解系?

选项

答案由于β1,β2,β3,β4均为α1,α2,α3,α4的线性组合,所以β1,β2,β3,β4均为Ax= 0的解.下面证明β1,β2,β3,β4线性无关.设 k1β1+k2β2+k3β3+k4β4=0, 即 (k1+tk41+(tk1+k22+(tk2+k33+(tk3+k44=0, 由于α1,α2,α3,α4线性无关,因此其系数全为零,即 [*] 其系数行列式[*] 可见,当1-t4≠0,即t≠±1时,上述方程组只有零解k1=k2=k3=k4=0,因此向量组β1,β2,β3,β4线性无关,从而β1,β2,β3,β4也为Ax=0的一个基础解系.

解析 [分析]  基础解系应满足两个条件:首先应是解向量,其次应线性无关且向量个数为
s=n-r(A).本题的关键是证明β1,β2,β3,β4线性无关,而抽象向量组的线性无关性的证明一般都采用定义法.
    [评注]  对于一个抽象向量组的线性相关性的讨论,基本方法有定义法(如本题的证明)和等价法,若已知条件中包含矩阵等式或矩阵关系式时,可考虑转化为矩阵的秩来进行判断.
    本题也可用等价法证明:由题设,向量组β1,β2,β3,β4可由向量组β1,β2,β3,β4线性表示,且有
1,β2,β3,β4)=(α1,α2,α3,α4)
可见,向量组α1,α2,α3,α4可由向量组β1,β2,β3,β4线性表示的充要条件是行列式

即当t≠±1时,向量组α1,α2,α3,α4与向量组β1,β2,β3,β4等价,从而有向量组β1,β2,β3,β4线性无关,因此也为Ax=0的一个基础解系.
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