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设c1,c2,…,cn均为非零实常数,A=(aij)n×n为正定矩阵,令bij=aijcicj(i,j=1,2,…,n),矩阵B=(bij)n×n,证明矩阵B为正定矩阵.
设c1,c2,…,cn均为非零实常数,A=(aij)n×n为正定矩阵,令bij=aijcicj(i,j=1,2,…,n),矩阵B=(bij)n×n,证明矩阵B为正定矩阵.
admin
2017-06-26
41
问题
设c
1
,c
2
,…,c
n
均为非零实常数,A=(a
ij
)
n×n
为正定矩阵,令b
ij
=a
ij
c
i
c
j
(i,j=1,2,…,n),矩阵B=(b
ij
)
n×n
,证明矩阵B为正定矩阵.
选项
答案
令矩阵C=[*]则C可逆,注意用对角矩阵C左(右)乘矩阵A,等于用C的主对角线元素依次乘A的各行(列),于是有 [*] 即B与正定阵A合同,故B正定(事实上,[*]χ∈R
n
,χ≠0,由C可逆知Cχ≠0,再由A正定知(Cχ)
T
A(Cχ)>0,即χ
T
(C
T
AC)χ=χ
T
Bχ>0,故B正定).
解析
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考研数学三
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