设c1,c2,…,cn均为非零实常数,A=(aij)n×n为正定矩阵,令bij=aijcicj(i,j=1,2,…,n),矩阵B=(bij)n×n,证明矩阵B为正定矩阵.

admin2017-06-26  27

问题 设c1,c2,…,cn均为非零实常数,A=(aij)n×n为正定矩阵,令bij=aijcicj(i,j=1,2,…,n),矩阵B=(bij)n×n,证明矩阵B为正定矩阵.

选项

答案令矩阵C=[*]则C可逆,注意用对角矩阵C左(右)乘矩阵A,等于用C的主对角线元素依次乘A的各行(列),于是有 [*] 即B与正定阵A合同,故B正定(事实上,[*]χ∈Rn,χ≠0,由C可逆知Cχ≠0,再由A正定知(Cχ)TA(Cχ)>0,即χT(CTAC)χ=χTBχ>0,故B正定).

解析
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