2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，|f(x)dx=0.证明： (1)存在c∈(a，b)，使得f(c)=0； (2)存在ξi∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f′(ξi)-f(ξi)=0(i=1，2)；

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，|f(x)dx=0.证明： (1)存在c∈(a，b)，使得f(c)=0； (2)存在ξi∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f′(ξi)-f(ξi)=0(i=1，2)；

admin2022-08-19  58
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，|f(x)dx=0.证明：
(1)存在c∈(a，b)，使得f(c)=0；
(2)存在ξi∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f′(ξi)-f(ξi)=0(i=1，2)；
(3)存在ξ∈(a，b)，使得f″(ξ)=f(ξ)；
(4)存在η∈(a，b)，使得f″(η)-3f′(η)+2f(η)=0.
选项
答案(1)令F(x)=∫axf(t)dt，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F′(x)=f(x). 故存在c∈(a，b)，使得 ∫abf(x)dx=F(b)-F(a)=F′(c)(b-a)=f(c)(b-a)=0，即f(c)=0. (2)令h(x)=exf(x)，因为h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ1(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h′(ξ1)=h′(ξ2)=0， 而h′(x)=ex[f′(x)+f(x)]且ex≠0，所以f′(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2). (3)令φ(x)=e-x[f′(x)+f(x))]，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由罗尔定理，存在ξ=(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使得φ′(ξ)=0， 而φ′(x)=e-x[f″(x)-f(x)]且e-x≠0，所以f″(ξ)=f(ξ). (4)令g(x)=e-xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0， 由罗尔定理，存在η1(a，c)，η2∈(c，b)，使得g′(η1)=g′(η2)=0， 而g′(x)=e-x[f′(x)-f(x)]且e-x≠0，所以f′(η1)-f(η1)=0，f′(η2)-f(η2)=0. 令φ(x)=e-2x[f′(x)-f(x)]，φ(η1)=φ(η2)=0， 由罗尔定理，存在η，(η1，η2)[*](a，b)，使得φ′(η)=0， 而φ′(x)=e-2x[f″(x)-3f′(x)+2f(x)]且e-2x≠0， 所以f″(η)-3f′(η)+2f(η)=0.
解析
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考研数学三

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