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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,|f(x)dx=0.证明: (1)存在c∈(a,b),使得f(c)=0; (2)存在ξi∈(a,b)(i=1,2),且ξ1≠ξ2,使得f′(ξi)-f(ξi)=0(i=1,2);
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,|f(x)dx=0.证明: (1)存在c∈(a,b),使得f(c)=0; (2)存在ξi∈(a,b)(i=1,2),且ξ1≠ξ2,使得f′(ξi)-f(ξi)=0(i=1,2);
admin
2022-08-19
55
问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,|f(x)dx=0.证明:
(1)存在c∈(a,b),使得f(c)=0;
(2)存在ξ
i
∈(a,b)(i=1,2),且ξ
1
≠ξ
2
,使得f′(ξ
i
)-f(ξ
i
)=0(i=1,2);
(3)存在ξ∈(a,b),使得f″(ξ)=f(ξ);
(4)存在η∈(a,b),使得f″(η)-3f′(η)+2f(η)=0.
选项
答案
(1)令F(x)=∫
a
x
f(t)dt,则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F′(x)=f(x). 故存在c∈(a,b),使得 ∫
a
b
f(x)dx=F(b)-F(a)=F′(c)(b-a)=f(c)(b-a)=0,即f(c)=0. (2)令h(x)=e
x
f(x),因为h(a)=h(c)=h(b)=0,所以由罗尔定理,存在ξ
1
(a,c),ξ
2
∈(c,b),使得h′(ξ
1
)=h′(ξ
2
)=0, 而h′(x)=e
x
[f′(x)+f(x)]且e
x
≠0,所以f′(ξ
i
)+f(ξ
i
)=0(i=1,2). (3)令φ(x)=e
-x
[f′(x)+f(x))],φ(ξ
1
)=φ(ξ
2
)=0,由罗尔定理,存在ξ=(ξ
1
,ξ
2
)[*](a,b),使得φ′(ξ)=0, 而φ′(x)=e
-x
[f″(x)-f(x)]且e
-x
≠0,所以f″(ξ)=f(ξ). (4)令g(x)=e
-x
f(x),g(a)=g(c)=g(b)=0, 由罗尔定理,存在η
1
(a,c),η
2
∈(c,b),使得g′(η
1
)=g′(η
2
)=0, 而g′(x)=e
-x
[f′(x)-f(x)]且e
-x
≠0,所以f′(η
1
)-f(η
1
)=0,f′(η
2
)-f(η
2
)=0. 令φ(x)=e
-2x
[f′(x)-f(x)],φ(η
1
)=φ(η
2
)=0, 由罗尔定理,存在η,(η
1
,η
2
)[*](a,b),使得φ′(η)=0, 而φ′(x)=e
-2x
[f″(x)-3f′(x)+2f(x)]且e
-2x
≠0, 所以f″(η)-3f′(η)+2f(η)=0.
解析
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考研数学三
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