设A为m×n阶实矩阵，且r(A)=n．证明：ATA的特征值全大于零．

admin2018-05-21 33

问题设A为m×n阶实矩阵，且r(A)=n．证明：A^TA的特征值全大于零．

选项

答案首先A^TA为实对称矩阵，r(A^TA)=n，对任意的X＞0， X^T(A^TA)X=(AX)^T(AX)，令AX=α，因为r(A)=n，所以α≠0．所以 (AX)^T(AX)=α^Tα=‖α‖²＞0，即二次型X^T(A^TA)X是正定二次型．A^TA为正定矩阵，所以A^TA的特征值全大于零．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/dZr4777K

考研数学一

相关试题推荐

设A是5×4矩阵，A=(α1，α2，α3，α4)，若η1=(1，1，一2，1)T，η2=(0，1，0，1)T是Ax=0的基础解系，则A的列向量的极大线性无关组是()
已知(1，一1，0)T是二次型xTAx=αx12+x32一2x1x2+2x1x3+2bx2x3的矩阵A的特征向量，利用正交变换化二次型为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。
如图3—4所示，曲线C方程为y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)．设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分∫03(x+x)f’’’(x)dx．
已知向量a，b相互平行但方向相反，且｜a｜＞｜b｜＞0，则必有()
设矩阵有一个特征值是3．(Ⅰ)求y的值；(Ⅱ)求正交矩阵P，使(AP)TAP为对角矩阵；(Ⅲ)判断矩阵A2是否为正定矩阵，并证明你的结论．
设三维向量已知向量组α1，α2，α3与β1，β2，β3是等价的．(Ⅰ)求a，b，c．(Ⅱ)求向量组α1，α2，α3的一个极大无关组，并将β1用α1，α2，α3线性表示．
设α1，α2，α3是三维向量空间R3中的一组基，则由基α2，α1一α2，α1+α3到基α1+α2，α3，α2一α1的过渡矩阵为()
设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．(Ⅰ)求矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B；(Ⅱ)求矩阵A的特征值；(Ⅲ)求可逆矩阵P，使
设，B是三阶非零矩阵，且AB=0，则()
设A为3阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得QTAQ=，又已知A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ=1，相应的特征向量为α=(1，1，1)T．求正交矩阵Q

随机试题

我国《婚姻法》第32条规定：“如感情确已破裂，调解无效，应准予离婚。”并例示性规定了判断夫妻感情确已破裂的理由，根据这一规定，下列几则离婚案中所涉问题，足以判断为“感情确已破裂”的是()
男性，40岁，患支气管哮喘20余年，近3年来经常喘息发作，伴咳嗽、咳痰，诊断为支气管哮喘。下列治疗中，哪种方法是错误的
输卵管妊娠最常见的病因是
精神障碍患者实施住院治疗的情形，应除外
下列为急诊患者开具的处方中，每张处方的最大限量是3日用量的是
下列钢结构质量检验方法中，属于破坏性检验的是()。
在期末结账前发现账簿记录中文字出现错误，可以用红字更正法更正。()
正态分布是()的特例。
建设中国特色社会主义文化，要坚持走中国特色社会主义文化发展道路，其中事关文化改革发展全局的根本问题是
Infact,PeterwouldratherhaveleftforSanFranciscothan______inNewYork.

最新回复(0)

设A为m×n阶实矩阵，且r(A)=n．证明：ATA的特征值全大于零．

考研数学一

设A是5×4矩阵，A=(α1，α2，α3，α4)，若η1=(1，1，一2，1)T，η2=(0，1，0，1)T是Ax=0的基础解系，则A的列向量的极大线性无关组是()

已知(1，一1，0)T是二次型xTAx=αx12+x32一2x1x2+2x1x3+2bx2x3的矩阵A的特征向量，利用正交变换化二次型为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。

如图3—4所示，曲线C方程为y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)．设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分∫03(x+x)f’’’(x)dx．

已知向量a，b相互平行但方向相反，且｜a｜＞｜b｜＞0，则必有()

设矩阵有一个特征值是3．(Ⅰ)求y的值；(Ⅱ)求正交矩阵P，使(AP)TAP为对角矩阵；(Ⅲ)判断矩阵A2是否为正定矩阵，并证明你的结论．

设三维向量已知向量组α1，α2，α3与β1，β2，β3是等价的．(Ⅰ)求a，b，c．(Ⅱ)求向量组α1，α2，α3的一个极大无关组，并将β1用α1，α2，α3线性表示．

设α1，α2，α3是三维向量空间R3中的一组基，则由基α2，α1一α2，α1+α3到基α1+α2，α3，α2一α1的过渡矩阵为()

设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．(Ⅰ)求矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B；(Ⅱ)求矩阵A的特征值；(Ⅲ)求可逆矩阵P，使

设，B是三阶非零矩阵，且AB=0，则()

设A为3阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得QTAQ=，又已知A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ=1，相应的特征向量为α=(1，1，1)T．求正交矩阵Q

我国《婚姻法》第32条规定：“如感情确已破裂，调解无效，应准予离婚。”并例示性规定了判断夫妻感情确已破裂的理由，根据这一规定，下列几则离婚案中所涉问题，足以判断为“感情确已破裂”的是()

男性，40岁，患支气管哮喘20余年，近3年来经常喘息发作，伴咳嗽、咳痰，诊断为支气管哮喘。下列治疗中，哪种方法是错误的

输卵管妊娠最常见的病因是

精神障碍患者实施住院治疗的情形，应除外

下列为急诊患者开具的处方中，每张处方的最大限量是3日用量的是

下列钢结构质量检验方法中，属于破坏性检验的是()。

在期末结账前发现账簿记录中文字出现错误，可以用红字更正法更正。()

正态分布是()的特例。

建设中国特色社会主义文化，要坚持走中国特色社会主义文化发展道路，其中事关文化改革发展全局的根本问题是

Infact,PeterwouldratherhaveleftforSanFranciscothan______inNewYork.