证明Dn==an+an-1b+…+bn。

admin2018-04-15 23

问题证明D_n=

=aⁿ+a^n-1b+…+bⁿ。

选项

答案将行列式按照第一行展开得 D_n=(a+b)D_n-0-ab[*] 再将后一个行列式按照第一列展开，即得D_n=(a+b)D_n-1-abD_n-2。且易得D₁=a+b，D₂=a²+b²+b²。下面用数学归纳法证明：假设当n=k及n=k-1时，等式成立，即 D_k=a^k+a^k-1b+…+b^k，D_k-1=a^k-1+a^k-2b+…+b^k-1，则D_k+1=(a+b)D_k-abD_k-1 =(a+b)(a^k+a^k-1b+…+b^k)-ab(a^k-1+a^k-2b+…+b^k-1) =a^k+1+a^kb+…+b^k+1。故D_n=aⁿ+a^n-1b+…+bⁿ对所有的正整数成立。

解析

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考研数学一

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