设φ(x)是以2π为周期的连续函数,且φ’(x)=φ(x),φ(0)=0. (1)求方程y’+ysinx=φ(x)ecosx的通解; (2)在(1)中方程是否有以2π为周期的解?若有,请写出所需条件,若没有,请说明理由.

admin2018-09-25  39

问题 设φ(x)是以2π为周期的连续函数,且φ’(x)=φ(x),φ(0)=0.
    (1)求方程y’+ysinx=φ(x)ecosx的通解;
    (2)在(1)中方程是否有以2π为周期的解?若有,请写出所需条件,若没有,请说明理由.

选项

答案本题考查微分方程的求解与解的讨论,尤其是(2)关于解的讨论,是考试中的重点,请复习备考的学生重视. (1)该方程为一阶非齐次线性微分方程,通解为 y=e-∫sin xdx[∫φ(x)ecos xe∫sin xdxdx+C]=ecos x[∫φ(x)ecos x.e-cos xdx+C] =ecos x[∫φ(x)dx+C]=ecos x[Ф(x)+C](C为任意常数). (2)因通解中cos x为2 π为周期的函数,故只需Ф(x+2π)=Ф(x)即可.因为Ф’(x)=φ(x),所以Ф(x)=∫0xφ(t)dt+C1,又Ф((0)=0,于是Ф(x)=∫0xφ(t)dt.而 Ф(x+2π)=∫0x+2πφ(t)dt=∫0xφ(t)dt+∫xx+2πφ(t)dt=Ф(x)+∫0φ(t)dt, 所以,当∫0φ(t)dt,时,Ф(x+2π)=Ф(x),即Ф(x)以2π为周期. 因此,当∫0φ(t)dt=0时,方程有以2π为周期的解.

解析
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