2. 考研
  3. 设曲线积分 ∮L2[xφ(y)+ψ(y)]dx+[x2ψ(y)+2xy2－2xφ(y)]dy=0，其中L为任意一条平面分段光滑闭曲线，φ(y)，ψ(y)是连续可微的函数． (Ⅰ)若φ(0)=－2，ψ(0)=1，试确定函数φ(y)与ψ(y)； (Ⅱ)计算沿

设曲线积分 ∮L2[xφ(y)+ψ(y)]dx+[x2ψ(y)+2xy2－2xφ(y)]dy=0，其中L为任意一条平面分段光滑闭曲线，φ(y)，ψ(y)是连续可微的函数． (Ⅰ)若φ(0)=－2，ψ(0)=1，试确定函数φ(y)与ψ(y)； (Ⅱ)计算沿

admin2016-10-26  23
问题 设曲线积分  ∮L2[xφ(y)+ψ(y)]dx+[x2ψ(y)+2xy2－2xφ(y)]dy=0，其中L为任意一条平面分段光滑闭曲线，φ(y)，ψ(y)是连续可微的函数．
(Ⅰ)若φ(0)=－2，ψ(0)=1，试确定函数φ(y)与ψ(y)；
(Ⅱ)计算沿L从点O(0，0)到M(π，)的曲线积分．
选项
答案(Ⅰ)由假设条件，该曲线积分与路径无关，将曲线积分记为∮LPdx+Qdy，由单连通区域上曲线积分与路径无关的充要条件知，φ(y)，ψ(y)满足[*]，即 2[xtφ′(y)+ψ′(y)]=2xψ(y)+2y2－2φ(y)． 由此得 x[φ′(y)－ψ(y)]=y2－φ(y)－ψ′(y)． 由于x，y是独立变量，若令x=0，则y2－φ(y)－ψ′(y)=0．将之代回上式又得 φ′(y)－ψ(y)=0． 因此，φ(y)，ψ(y)满足[*] 将第一个方程ψ(y)=φ′(y)代入第二个方程得φ″(y)+φ(y)=y2．这是二阶线性常系数非齐次方程，它的通解是φ(y)=c1cosy+c2siny+y2－2．由条件φ(0)=－2，φ′(0)=ψ(0)=1，得c1=0，c2=1，于是求得φ(y)=siny+y2－2，ψ(y)=φ′(y)=cosy+2y． (Ⅱ)求u使得du=Pdx+Qdy．把φ，ψ的关系式代入并整理得 Pdx+Qdy=φ(y)dx2+x2dφ(y)+ψ(y)d(2x)+2x[y2－φ(y)]dy =d[x2φ(y)]+ψ(y)d(2x)+2xdψ(y) =d[x2φ(y)+2xψ(y)]． 因此[*]
解析
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考研数学一

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