设X1和X2任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为f1(x)和f2(x),分布函数分别为F1(x)和F2(x),则( ).

admin2020-05-19  31

问题 设X1和X2任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为f1(x)和f2(x),分布函数分别为F1(x)和F2(x),则(    ).

选项 A、f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度
B、f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度
C、F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数
D、F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数

答案D

解析 首先可否定选项(A)与(C),因

F1(+∞)+F2(+∞)=1+1=2≠1.
对于选项(B),若f1(x)=
则对任何x∈(-∞,+∞),f1(x)f2(x)≡0,∫-∞+∞f1(x)f2(x)=0≠1,因此也应否定(C),综上分析,用排除法应选(D).
  进一步分析可知,若令X=max(X1,X2),而Xi~fi(x),i=1,2,
  则X的分布函数F(x)恰是F1(x)F2(x).
  F(x)=P{max(X1,X2)≤x}=P{X1≤x,X2≤x}=P{X1≤x}P{X2≤x}=F1(x)F2(x).故应选(D).
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