设二次型f(x1，x2，x3)＝(a－1)x12＋(a－1)x22＋2x32＋2x1x2。(a＞0)的秩为2． (1)求a； (2)用正交变换法化二次型为标准形．

admin2020-03-10 30

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)＝(a－1)x₁²＋(a－1)x₂²＋2x₃²＋2x₁x₂。(a＞0)的秩为2．
(1)求a； (2)用正交变换法化二次型为标准形．

选项

答案(1)A＝[*]因为二次型的秩为2，所以r(A)＝2，从而a＝2． (2)A＝[*]由｜λE－A｜＝0得λ₁＝λ₂＝2，λ₃＝0．当λ＝2时，由(2E－A)X＝0得λ＝2对应的线性无关的特征向量为[*] 当λ＝0时，由(0E－A)X＝0得λ＝0对应的线性无关的特征向量为[*] 因为α₁，α₂两两正交，单位化得[*]， [*]．

解析

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考研数学三

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