首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A4×4是实对称矩阵,|A|=-16,A的4个特征值之和为4,且α=(1,0,-2,-1)T是方程组(A*-8E)x=0的一个解向量,且矩阵A的一个特征值为2。 (Ⅰ)求矩阵A的所有特征值; (Ⅱ)求可逆矩阵P,使得A可以相似对角化;
设A4×4是实对称矩阵,|A|=-16,A的4个特征值之和为4,且α=(1,0,-2,-1)T是方程组(A*-8E)x=0的一个解向量,且矩阵A的一个特征值为2。 (Ⅰ)求矩阵A的所有特征值; (Ⅱ)求可逆矩阵P,使得A可以相似对角化;
admin
2019-01-25
85
问题
设A
4×4
是实对称矩阵,|A|=-16,A的4个特征值之和为4,且α=(1,0,-2,-1)
T
是方程组(A
*
-8E)x=0的一个解向量,且矩阵A的一个特征值为2。
(Ⅰ)求矩阵A的所有特征值;
(Ⅱ)求可逆矩阵P,使得A可以相似对角化;
(Ⅲ)求方程组(A
*
+8E)x=0的通解。
选项
答案
(Ⅰ)α=(1,0,-2,-1)
T
是方程组(A
*
-8E)x=0的一个解向量,则(A
*
-8E)α=0,即 A
*
α=8α,又 A
*
A=AA
*
=|A|E=-16E, 故AA
*
α=8Aα=-16a,因此Aα=-2α,所以α=(1,0,-2,-1)
T
。是A的对应特征值λ
3
=-2的特征向量。 设A的除-2和2之外的两个特征值为λ
1
,λ
2
,则 2+(-2)+λ
1
+λ
2
=4,2×(-2)λ
1
λ
2
=|A|=-16, 解得λ
1
=λ
2
=2。因此矩阵A的所有特征值分别为2(三重)和-2。 (Ⅱ)设特征值2(三重)对应的特征向量为x=(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)
T
,则它与α=(1,0,-2,-1)
T
正交,即x
1
-2
3
-x
4
=0,其基础解系为 α
1
=(0,1,0,0)
T
,α
2
=(2,0,1,0)
T
,α
3
=(1,0,0,1)
T
, [*] (Ⅲ)由(A
*
+8E)x=0可得(AA
*
+8A)x=0,进一步有(8A-16E)x=0,即方程最终化为(A-2E)x=0,因此方程组(A
*
+8E)x=0的基础解系即为矩阵4属于特征值2的三个线性无关的特征向量,因此可得其通解为 x=k
1
(0,1,0,0)
T
+k
2
(2,0,1,0)
T
+k
3
(1,0,0,1)
T
,k
1
,k
2
,k
3
为任意常数。
解析
第一问求矩阵A,已知该矩阵是一个实对称矩阵,所以考虑实对称矩阵相似对角化的逆运用,需要根据已知条件找到矩阵A的所有特征值和特征向量;第二问直接将A的所有特征向量排列为矩阵,即得可逆矩阵P;第三问求关于伴随矩阵A
*
的一个矩阵方程,必然要应用第一问的结果,故需利用公式A
*
A=AA
*
=|A|E将方程组进行等价变形转化为关于A的方程组之后再求解。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/dmP4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
设f(x)在x=a的某邻域内可导,且f(a)≠0,a≠0,求极限.
求解微分方程xy’一2y=2x4.
计算积分I=.
设A为m×n矩阵,B是n×m矩阵,证明:AB和BA有相同的非零特征值.
已知随机变量X和Y独立,X的概率分布和Y的概率密度相应为试求随机变量Z=X+Y的概率分布.
设函数p(x)和f(x)在x∈[0,+∞)上连续,且p(x)=a>0,|f(x)|≤b,a和b均为常数.试证:微分方程+p(x)y=f(x)的一切解在x∈[0,+∞)上皆有界.
设三阶实对称矩阵A的特征值分别为0,1,1,α1=是A的两个不同的特征向量,且A(α1+α2)=α2.(1)求参数a的值;(2)求方程组Ax=α2的通解;(3)求矩阵A;(4)求正交矩阵Q,使得QTAQ为对角矩阵.
设函数f(x)在[a,b]有定义,在开区间(a,b)内可导,则
设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验,当p=________时,成功次数的标准差最大,其最大值为________.
设总体X~N(0,22),而X1,X2,…,X15是来自总体X的简单随机样本,则随机变量服从________分布,参数为________。
随机试题
甲醇合成原料气的质量要求中,对甲烷含量无限制要求。
(2009年4月)公务员录用考试的内容有:______。______,或叫能力测验。______。
伴随人口高速增长而来的城市化发展速度居于世界首位的是()
Thebookis______tobeputintothatenvelope.Youneedabiggerone.
下列哪些选项的增减核算,一般不以具有法律效力的文书为依据,不具有政策性强的特点?()
我国最大的政策性银行是()。
从所给的四个选项中,选择最合适的一个填入问号处,使之呈现一定的规律性。
A.肺炎链球菌肺炎B.支气管扩张C.肺炎克雷伯杆菌肺炎D.急性肺水肿痰液呈红棕色胶冻样可能是
用户在开始通信前,必须申请建立一条从发送端到接收端的物理信道,并且在双方通信期间始终占用该信道,这样的交换方式属于______。
在进行数据库物理设计时,为了保证系统性能,需要综合考虑所选择的数据库管理系统的特性及软硬件具体情况。下列关于数据库物理设计的说法,错误的是()。
最新回复
(
0
)