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设A4×4是实对称矩阵,|A|=-16,A的4个特征值之和为4,且α=(1,0,-2,-1)T是方程组(A*-8E)x=0的一个解向量,且矩阵A的一个特征值为2。 (Ⅰ)求矩阵A的所有特征值; (Ⅱ)求可逆矩阵P,使得A可以相似对角化;
设A4×4是实对称矩阵,|A|=-16,A的4个特征值之和为4,且α=(1,0,-2,-1)T是方程组(A*-8E)x=0的一个解向量,且矩阵A的一个特征值为2。 (Ⅰ)求矩阵A的所有特征值; (Ⅱ)求可逆矩阵P,使得A可以相似对角化;
admin
2019-01-25
51
问题
设A
4×4
是实对称矩阵,|A|=-16,A的4个特征值之和为4,且α=(1,0,-2,-1)
T
是方程组(A
*
-8E)x=0的一个解向量,且矩阵A的一个特征值为2。
(Ⅰ)求矩阵A的所有特征值;
(Ⅱ)求可逆矩阵P,使得A可以相似对角化;
(Ⅲ)求方程组(A
*
+8E)x=0的通解。
选项
答案
(Ⅰ)α=(1,0,-2,-1)
T
是方程组(A
*
-8E)x=0的一个解向量,则(A
*
-8E)α=0,即 A
*
α=8α,又 A
*
A=AA
*
=|A|E=-16E, 故AA
*
α=8Aα=-16a,因此Aα=-2α,所以α=(1,0,-2,-1)
T
。是A的对应特征值λ
3
=-2的特征向量。 设A的除-2和2之外的两个特征值为λ
1
,λ
2
,则 2+(-2)+λ
1
+λ
2
=4,2×(-2)λ
1
λ
2
=|A|=-16, 解得λ
1
=λ
2
=2。因此矩阵A的所有特征值分别为2(三重)和-2。 (Ⅱ)设特征值2(三重)对应的特征向量为x=(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)
T
,则它与α=(1,0,-2,-1)
T
正交,即x
1
-2
3
-x
4
=0,其基础解系为 α
1
=(0,1,0,0)
T
,α
2
=(2,0,1,0)
T
,α
3
=(1,0,0,1)
T
, [*] (Ⅲ)由(A
*
+8E)x=0可得(AA
*
+8A)x=0,进一步有(8A-16E)x=0,即方程最终化为(A-2E)x=0,因此方程组(A
*
+8E)x=0的基础解系即为矩阵4属于特征值2的三个线性无关的特征向量,因此可得其通解为 x=k
1
(0,1,0,0)
T
+k
2
(2,0,1,0)
T
+k
3
(1,0,0,1)
T
,k
1
,k
2
,k
3
为任意常数。
解析
第一问求矩阵A,已知该矩阵是一个实对称矩阵,所以考虑实对称矩阵相似对角化的逆运用,需要根据已知条件找到矩阵A的所有特征值和特征向量;第二问直接将A的所有特征向量排列为矩阵,即得可逆矩阵P;第三问求关于伴随矩阵A
*
的一个矩阵方程,必然要应用第一问的结果,故需利用公式A
*
A=AA
*
=|A|E将方程组进行等价变形转化为关于A的方程组之后再求解。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/dmP4777K
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考研数学三
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