首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A4×4是实对称矩阵,|A|=-16,A的4个特征值之和为4,且α=(1,0,-2,-1)T是方程组(A*-8E)x=0的一个解向量,且矩阵A的一个特征值为2。 (Ⅰ)求矩阵A的所有特征值; (Ⅱ)求可逆矩阵P,使得A可以相似对角化;
设A4×4是实对称矩阵,|A|=-16,A的4个特征值之和为4,且α=(1,0,-2,-1)T是方程组(A*-8E)x=0的一个解向量,且矩阵A的一个特征值为2。 (Ⅰ)求矩阵A的所有特征值; (Ⅱ)求可逆矩阵P,使得A可以相似对角化;
admin
2019-01-25
92
问题
设A
4×4
是实对称矩阵,|A|=-16,A的4个特征值之和为4,且α=(1,0,-2,-1)
T
是方程组(A
*
-8E)x=0的一个解向量,且矩阵A的一个特征值为2。
(Ⅰ)求矩阵A的所有特征值;
(Ⅱ)求可逆矩阵P,使得A可以相似对角化;
(Ⅲ)求方程组(A
*
+8E)x=0的通解。
选项
答案
(Ⅰ)α=(1,0,-2,-1)
T
是方程组(A
*
-8E)x=0的一个解向量,则(A
*
-8E)α=0,即 A
*
α=8α,又 A
*
A=AA
*
=|A|E=-16E, 故AA
*
α=8Aα=-16a,因此Aα=-2α,所以α=(1,0,-2,-1)
T
。是A的对应特征值λ
3
=-2的特征向量。 设A的除-2和2之外的两个特征值为λ
1
,λ
2
,则 2+(-2)+λ
1
+λ
2
=4,2×(-2)λ
1
λ
2
=|A|=-16, 解得λ
1
=λ
2
=2。因此矩阵A的所有特征值分别为2(三重)和-2。 (Ⅱ)设特征值2(三重)对应的特征向量为x=(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)
T
,则它与α=(1,0,-2,-1)
T
正交,即x
1
-2
3
-x
4
=0,其基础解系为 α
1
=(0,1,0,0)
T
,α
2
=(2,0,1,0)
T
,α
3
=(1,0,0,1)
T
, [*] (Ⅲ)由(A
*
+8E)x=0可得(AA
*
+8A)x=0,进一步有(8A-16E)x=0,即方程最终化为(A-2E)x=0,因此方程组(A
*
+8E)x=0的基础解系即为矩阵4属于特征值2的三个线性无关的特征向量,因此可得其通解为 x=k
1
(0,1,0,0)
T
+k
2
(2,0,1,0)
T
+k
3
(1,0,0,1)
T
,k
1
,k
2
,k
3
为任意常数。
解析
第一问求矩阵A,已知该矩阵是一个实对称矩阵,所以考虑实对称矩阵相似对角化的逆运用,需要根据已知条件找到矩阵A的所有特征值和特征向量;第二问直接将A的所有特征向量排列为矩阵,即得可逆矩阵P;第三问求关于伴随矩阵A
*
的一个矩阵方程,必然要应用第一问的结果,故需利用公式A
*
A=AA
*
=|A|E将方程组进行等价变形转化为关于A的方程组之后再求解。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/dmP4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
设f(x)=,讨论函数f(x)的连续性,若有间断点,指明其类型.
设f(x)在(一∞,+∞)内连续,以T为周期,令F(x)=∫0xf(t)dt.求证:(1)F(x)=kx+φ(x),其中k为某常数,φ(x)是以T为周期的周期函数.(2)∫0Tf(x)dx.
设数列{an}=0满足条件:a0=3,a1=1,an—2一n(n一1)an=0(n≥2),S(x)是幂级数anxn的和函数.(1)证明S"(x)一S(x)=0;(2)求S(x)的表达式.
交换二重积分I=∫01dxf(x,y)dy的积分次序,其中f(x,y)为连续函数.
计算二重积分I=,其中D为x2+y2=1与y=|x|所围成的区域.
设某个系统由5个相同的元件按如图3—1所示的方式联接而成,各元件的工作状态相互独立,而且每个元件的正常工作时间服从参数为λ>0的指数分布,试求系统正常工作时间T的概率分布.
设随机变量X1和X2各只有一1,0,1等三个可能值,且满足条件P{Xi=一1}=P{Xi=1}=(i=1,2).试在下列条件下分别求X1和X2的联合分布.(1)P{X1X2=0}=1;(2)P{X1+X2=0}=
设u=f(x,y)为可微函数.(1)若u=f(x,y)满足方程=0,试证:f(x,y)在极坐标系中只是θ的函数,而与r无关.(2)若u=f(x,y)满足方程=0,试证:f(x,y)在极坐标系中只是r的函数,而与θ无关.
将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:A1={掷第一次出现正面},A2={掷第二次出现正面},A3={正、反面各出现一次},A4={正面出现两次},则事件
随机试题
甲企业以某专利技术向乙企业投资,该技术的重置成本为100万元,乙企业拟投入合营的资产重置成本为6000万元,甲企业无形资产成本利润率为400%,乙企业拟合营的资产原利润率为13%。要求:评估该项无形资产投资的利润分成率。
糖皮质激素的适应证包括()。
管理组织模式有两种表现形式。其中一种是将一个大的项目按照公司行政、()、()、()、营销等职能部门的特点与职责,分成若干个子项目,由相应的各职能单元完成各方面的工作。
项目竣工验收前,施工企业对已完工程进行保护发生的费用应计人()。【2010年考试真题】
由高级神经系统活动特性所决定的行为活动的能量和时间特性描述的是个体的()。
教育功能按其作用呈现的形式,可以分为_______和_______。
阅读下列材料,回答问题。郝某经所在区工商局批准开办了一家文化用品商店,一日郝某所在地工商局人员康某来到郝某的店里,要拿几本书回去看,郝某不让。康某说:“有人举报你的店里卖淫秽书籍,要对你罚款,你现在交罚款。”郝某说:“我的店从来没有卖过那种东西,
Aperson’shomeisasmuchareflectionofhispersonalityastheclotheshewears,thefoodheeatsandthefriendswithwhomh
Whilemanynationshaveagingpopulations,Japan’sdemographiccrisisistrulydire,withforecastsshowingthat40percentof
A、Theyhelptoincreasethestategovernments’revenue.B、TheycontributetothemodernizationofAmericanfarms.C、Theyremind
最新回复
(
0
)