2. 考研
  3. 设A4×4是实对称矩阵，｜A｜＝－16，A的4个特征值之和为4，且α＝(1，0，－2，－1)T是方程组(A*－8E)x＝0的一个解向量，且矩阵A的一个特征值为2。 (Ⅰ)求矩阵A的所有特征值； (Ⅱ)求可逆矩阵P，使得A可以相似对角化；

设A4×4是实对称矩阵，｜A｜＝－16，A的4个特征值之和为4，且α＝(1，0，－2，－1)T是方程组(A*－8E)x＝0的一个解向量，且矩阵A的一个特征值为2。 (Ⅰ)求矩阵A的所有特征值； (Ⅱ)求可逆矩阵P，使得A可以相似对角化；

admin2019-01-25  59
问题 设A4×4是实对称矩阵，｜A｜＝－16，A的4个特征值之和为4，且α＝(1，0，－2，－1)T是方程组(A*－8E)x＝0的一个解向量，且矩阵A的一个特征值为2。
    (Ⅰ)求矩阵A的所有特征值；
    (Ⅱ)求可逆矩阵P，使得A可以相似对角化；
    (Ⅲ)求方程组(A*＋8E)x＝0的通解。
选项
答案(Ⅰ)α＝(1，0，－2，－1)T是方程组(A*－8E)x＝0的一个解向量，则(A*－8E)α＝0，即 A*α＝8α，又 A*A＝AA*＝｜A｜E＝－16E， 故AA*α＝8Aα＝－16a，因此Aα＝－2α，所以α＝(1，0，－2，－1)T。是A的对应特征值λ3＝－2的特征向量。 设A的除－2和2之外的两个特征值为λ1，λ2，则 2＋(－2)＋λ1＋λ2＝4，2×(－2)λ1λ2＝｜A｜＝－16， 解得λ1＝λ2＝2。因此矩阵A的所有特征值分别为2(三重)和－2。 (Ⅱ)设特征值2(三重)对应的特征向量为x＝(x1，x2，x3，x4)T，则它与α＝(1，0，－2，－1)T正交，即x1－23－x4＝0，其基础解系为 α1＝(0，1，0，0)T，α2＝(2，0，1，0)T，α3＝(1，0，0，1)T， [*] (Ⅲ)由(A*＋8E)x＝0可得(AA*＋8A)x＝0，进一步有(8A－16E)x＝0，即方程最终化为(A－2E)x＝0，因此方程组(A*＋8E)x＝0的基础解系即为矩阵4属于特征值2的三个线性无关的特征向量，因此可得其通解为 x＝k1(0，1，0，0)T＋k2(2，0，1，0)T＋k3(1，0，0，1)T，k1，k2，k3为任意常数。
解析 第一问求矩阵A，已知该矩阵是一个实对称矩阵，所以考虑实对称矩阵相似对角化的逆运用，需要根据已知条件找到矩阵A的所有特征值和特征向量；第二问直接将A的所有特征向量排列为矩阵，即得可逆矩阵P；第三问求关于伴随矩阵A*的一个矩阵方程，必然要应用第一问的结果，故需利用公式A*A＝AA*＝｜A｜E将方程组进行等价变形转化为关于A的方程组之后再求解。
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考研数学三

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