已知矩阵A的伴随矩阵A*=diag(1，1，1，8)，且ABA-1=BA-1+3E，求B。

admin2019-01-19 51

问题已知矩阵A的伴随矩阵A^*=diag(1，1，1，8)，且ABA^-1=BA^-1+3E，求B。

选项

答案在A^*=|A|A^-1两端取行列式可得|A^*|=|A|⁴|A^-1|=|A|³，因为A^*=diag(1，1，1，8)，所以|A^*|=8，即|A|=2。由ABA^-1=BA^-1+3层移项并提取公因式得，(A—E)BA^-1=3E，右乘A得(A—E)B=3A，左乘A^-1得(E—A^-1)B=3E。由已求结果|A|=2，知 A^-1=[*]diag(1，1，1，8)=diag[*] E—A^-1=diag(1，1，1，1)一diag[*] 得 (E—A^-1)^-1=diag(2，2，2，一[*])，因此 B=3(E—A^-1)^-1=diag(6，6，6，一1)。

解析

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