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已知二次型f(χ1,χ2,χ3)=χTAχ在正交变换χ=Qy下的标准形为y12+y22,且Q的第3列为 (Ⅰ)求矩阵A; (Ⅱ)证明A+E为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵.
已知二次型f(χ1,χ2,χ3)=χTAχ在正交变换χ=Qy下的标准形为y12+y22,且Q的第3列为 (Ⅰ)求矩阵A; (Ⅱ)证明A+E为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵.
admin
2017-06-26
85
问题
已知二次型f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=χ
T
Aχ在正交变换χ=Qy下的标准形为y
1
2
+y
2
2
,且Q的第3列为
(Ⅰ)求矩阵A;
(Ⅱ)证明A+E为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵.
选项
答案
(Ⅰ)由条件知,A的特征值为1,1,0,且ξ=(1,0,1)
T
为A的属于特征值0的一个特征向量.设A的属于特征值1的特征向量为χ=(χ
1
,χ
2
,χ
3
)
T
,则ξ⊥χ,得χ
1
+χ
3
=0,取A的属于特征值1的两个正交的单位特征向量为[*](1,0,-1)
T
、(0,1,0)
T
. 得正交矩阵Q=[*] 则有Q
T
AQ=diag(1,1,0), 故A=Qdiag(1,1,0)Q
T
=[*] (Ⅱ)A+E的特征值为2,2,1都大于零,且A+E为实对称矩阵,所以A+E为正定矩阵.
解析
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考研数学三
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