已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ在正交变换χ＝Qy下的标准形为y12＋y22，且Q的第3列为 (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)证明A＋E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

admin2017-06-26 67

问题已知二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝χ^TAχ在正交变换χ＝Qy下的标准形为y₁²＋y₂²，且Q的第3列为

(Ⅰ)求矩阵A；
(Ⅱ)证明A＋E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

选项

答案(Ⅰ)由条件知，A的特征值为1，1，0，且ξ＝(1，0，1)^T为A的属于特征值0的一个特征向量．设A的属于特征值1的特征向量为χ＝(χ₁，χ₂，χ₃)^T，则ξ⊥χ，得χ₁＋χ₃＝0，取A的属于特征值1的两个正交的单位特征向量为[*](1，0，－1)^T、(0，1，0)^T．得正交矩阵Q＝[*] 则有Q^TAQ＝diag(1，1，0)，故A＝Qdiag(1，1，0)Q^T＝[*] (Ⅱ)A＋E的特征值为2，2，1都大于零，且A＋E为实对称矩阵，所以A＋E为正定矩阵．

解析

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考研数学三

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已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ在正交变换χ＝Qy下的标准形为y12＋y22，且Q的第3列为 (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)证明A＋E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

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