设f(x)在x=a处四阶可导，且f’(a)=f’’(a)=f’’’(a)=0，但f(4)(a)≠0，求证：当f(4)(a)＞0(＜0)时x=a是f(x)的极小(大)值点．

admin2018-06-27 32

问题设f(x)在x=a处四阶可导，且f’(a)=f’’(a)=f’’’(a)=0，但f⁽⁴⁾(a)≠0，求证：当f⁽⁴⁾(a)＞0(＜0)时x=a是f(x)的极小(大)值点．

选项

答案f(x)-f(a)=f’(a)(x-a)+[*]f’’(a)(x-a)²+[*]f’’’(a)(x-a)³+[*]f⁽⁴⁾(a)(x-a)⁴+o((x-a)⁴) =[*]f⁽⁴⁾(a)(x-a)⁴+o((x-a)⁴)=(x-a)⁴[ [*]f⁽⁴⁾(a)+o(1)] 其中o(1)为无穷小量(x→a时)，因此，[*]＞0，当0＜｜z-a｜＜δ时 [*] 因此f⁽⁴⁾(a)＞0(＜0)时f(a)为极小(大)值．

解析

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