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设f0(x)是[0,+∞)上的连续的单调增加函数,函数f1(x)=∫0xf0(t)dt/x, (1)补充定义f1(x)在x=0的值,使得补充定义后的函数(仍记为f1(x))在[0,+∞)上连续; (2)在(1)的条件下,证明f1(x)<f0
设f0(x)是[0,+∞)上的连续的单调增加函数,函数f1(x)=∫0xf0(t)dt/x, (1)补充定义f1(x)在x=0的值,使得补充定义后的函数(仍记为f1(x))在[0,+∞)上连续; (2)在(1)的条件下,证明f1(x)<f0
admin
2021-04-16
60
问题
设f
0
(x)是[0,+∞)上的连续的单调增加函数,函数f
1
(x)=∫
0
x
f
0
(t)dt/x,
(1)补充定义f
1
(x)在x=0的值,使得补充定义后的函数(仍记为f
1
(x))在[0,+∞)上连续;
(2)在(1)的条件下,证明f
1
(x)<f
0
(x)(x>0),且f
1
(x)也是[0,+∞)上的连续的单调增加函数;
(3)令f
n
(x)=∫
0
x
f
n-1
(t)dt/x,n=1,2,3,…,证明:对任意的x>0,极限
存在。
选项
答案
(1)因[*] 故补充定义f
1
(0)=f
0
(0),使得f
1
(x)在[0,+∞)上连续, (2)当x>0时,由积分中值定理,f
1
(x)=∫
0
x
f
0
(t)dt/x=f
0
(ζ),0<ζ<x,因f
0
(x)单调增加,故f
0
(ζ)<f
0
(x),即f
1
(x)<f
0
(x)(x>0)。 由(1)知,f
1
(x)在[0,+∞)上连续,又当x>0时,f’(x)=xf
0
∫
0
x
f
0
(t)dt/x
2
=[f
0
(x)-f
0
(ζ)]/x>0, 故f
1
(x)是[0,+∞)上的连续的单调增加函数。 (3)当x>0时,对于f
2
(x)=∫
0
x
f
1
(t)dt/x,仿(2)的处理方法,由积分中值定理,有 f
2
(x)=∫
0
x
f
1
(t)dt/x=f
1
(η)x/x=f
1
(η),0<η<x,由f
1
(η)单调增加,知f
1
(η)<f
1
(x),故f
2
(x)<f
1
(x)且f’
2
(x)=xf
1
(x)∫
0
x
f
1
(t)dt/x
2
=[f
1
(x)-f
1
(η)]/x>0,故f
2
(x)单调增加。 仿(1)的处理方法,在x>0时,有 [*] 于是可有f
n
(x)<f
n-1
(x)<…<f
0
(x),即f
n
(x)随n增大而减小,又由(2)知f
n
(x)是单调增加函数,且 [*] 即数列{f
n
(x)}单调减少且有下界,故对任意的x>0,极限[*]存在。
解析
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0
考研数学三
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