2. 考研
  3. 设f0(x)是[0，+∞)上的连续的单调增加函数，函数f1(x)=∫0xf0(t)dt／x， (1)补充定义f1(x)在x=0的值，使得补充定义后的函数(仍记为f1(x))在[0，+∞)上连续； (2)在(1)的条件下，证明f1(x)＜f0

设f0(x)是[0，+∞)上的连续的单调增加函数，函数f1(x)=∫0xf0(t)dt／x， (1)补充定义f1(x)在x=0的值，使得补充定义后的函数(仍记为f1(x))在[0，+∞)上连续； (2)在(1)的条件下，证明f1(x)＜f0

admin2021-04-16  114
问题 设f0(x)是[0，+∞)上的连续的单调增加函数，函数f1(x)=∫0xf0(t)dt／x，
    (1)补充定义f1(x)在x=0的值，使得补充定义后的函数(仍记为f1(x))在[0，+∞)上连续；
    (2)在(1)的条件下，证明f1(x)＜f0(x)(x＞0)，且f1(x)也是[0，+∞)上的连续的单调增加函数；
    (3)令fn(x)=∫0xfn-1(t)dt／x，n=1，2，3，…，证明：对任意的x＞0，极限存在。
选项
答案(1)因[*] 故补充定义f1(0)=f0(0)，使得f1(x)在[0，+∞)上连续， (2)当x＞0时，由积分中值定理，f1(x)=∫0xf0(t)dt／x=f0(ζ)，0＜ζ＜x，因f0(x)单调增加，故f0(ζ)＜f0(x)，即f1(x)＜f0(x)(x＞0)。 由(1)知，f1(x)在[0，+∞)上连续，又当x＞0时，f’(x)=xf0∫0xf0(t)dt／x2=[f0(x)-f0(ζ)]／x＞0， 故f1(x)是[0，+∞)上的连续的单调增加函数。 (3)当x＞0时，对于f2(x)=∫0xf1(t)dt／x，仿(2)的处理方法，由积分中值定理，有 f2(x)=∫0xf1(t)dt／x=f1(η)x／x=f1(η)，0＜η＜x，由f1(η)单调增加，知f1(η)＜f1(x)，故f2(x)＜f1(x)且f’2(x)=xf1(x)∫0xf1(t)dt／x2=[f1(x)-f1(η)]／x＞0，故f2(x)单调增加。 仿(1)的处理方法，在x＞0时，有 [*] 于是可有fn(x)＜fn-1(x)＜…＜f0(x)，即fn(x)随n增大而减小，又由(2)知fn(x)是单调增加函数，且 [*] 即数列{fn(x)}单调减少且有下界，故对任意的x＞0，极限[*]存在。
解析
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考研数学三

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