2. 考研
  3. 设函数f(χ)在[0，π]上连续，且∫0πf(χ)sinχdχ＝0∫0πf(χ)cosχdχ,＝0．证明：在(0，π)内f(χ)至少有两个零点．

设函数f(χ)在[0，π]上连续，且∫0πf(χ)sinχdχ＝0∫0πf(χ)cosχdχ,＝0．证明：在(0，π)内f(χ)至少有两个零点．

admin2019-08-12  68
问题 设函数f(χ)在[0，π]上连续，且∫0πf(χ)sinχdχ＝0∫0πf(χ)cosχdχ,＝0．证明：在(0，π)内f(χ)至少有两个零点．
选项
答案反证法．如果f(χ)在(0，π)内无零点(或有一个零点，但f(χ)不变号，证法相同)，即f(χ)＞0(或＜0)，由于在(0，π)内，亦有sinχ＞0，因此，必有∫0πf(χ)sinχdχ＞0(或＜0)．这与假设相矛盾． 如果f(χ)在(0，π)内有一个零点，而且改变一次符号，设其零点为a∈(0，π)，于是在(0，a)与(a，π)内f(χ)sin(χ－a)同号，因此∫0πf(χ)sin(χ－a)dχ≠0．但是，另一方面 ∫0πf(χ)sin(χ－a)dχ＝∫0πf(χ)(sinχcosa－cosχsina)dχ ＝cosa∫0πf(χ)sinχdχ－sina∫0πf(χ)cosχdχ＝0． 这个矛盾说明f(χ)也不能在(0，π)内只有一个零点，因此它至少有两个零点．
解析
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考研数学二

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