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设y1=ex-e-xsin2x,y2=ex+e-xcos2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解,则该微分方程是________.
设y1=ex-e-xsin2x,y2=ex+e-xcos2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解,则该微分方程是________.
admin
2022-07-21
16
问题
设y
1
=e
x
-e
-x
sin2x,y
2
=e
x
+e
-x
cos2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解,则该微分方程是________.
选项
答案
y’’+2y’+5y=8e
x
解析
由解的性质知y
2
-y
1
=e
-x
(cos2x+sin2x)是对应齐次微分方程的解,所以r=-1±2i是对应齐次微分方程的特征方程的根,故特征方程为(r+1)
2
+4=0,即r
2
+2r+5=0,于是所求方程形如
y’’+2y’+5y=f(x)
又因为y
1
=e
x
-e
-x
sin2x为其特解,代入方程后计算得f(x)=8e
x
,故所求微分方程为
y’’+2y’+5y=8e
x
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考研数学一
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