设A是3阶矩阵,ξ1=[1,2,一2]T,ξ2=[2,1,一1]T,ξ3=[1,1,t]T是线性非齐次方程组Ax=b的解向量,其中b=[1,3,一2]T,则 ( )

admin2019-07-01  43

问题 设A是3阶矩阵,ξ1=[1,2,一2]T,ξ2=[2,1,一1]T,ξ3=[1,1,t]T是线性非齐次方程组Ax=b的解向量,其中b=[1,3,一2]T,则    (    )

选项 A、t=一1时,必有r(A)=1.
B、t=一1时,必有r(A)=2
C、t≠一1时,必有r(A)=1
D、t≠=1时,必有r(A)=2

答案C

解析
当t≠一1时,r(B)=3.
法一  由ξ1,ξ2,ξ3是Ax=b的解,t≠一1时,r(B)=3,知ξ1,ξ2,ξ3线性无关ξ1一ξ2,ξ2一ξ3是对应齐次方程组Ax一0的两个线性无关解,故r(A)≤1,但A≠0,(若A=0,则Ax=b无解,这和题设条件矛盾)故必有r(A)=1,故应选C.
法二  

又当t≠一1,r(B)=3,则B是可逆阵,故r(A)=r(AB)=r[b,b,b]=1.故C成立,则D必不成立.又t=一1时,r(B)=2,则对应齐次方程组Ax=0有一个线性无父解向量,故A的秩可能是1,也可能是2,不能确定,故A,B都不成立.
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