设A为4阶实对称矩阵，且A2+A=0．若A的秩为3，则二次型f(x1，x2，…，xn)=xTAx在正交变换下的标准形为________．

admin2021-07-27 36

问题设A为4阶实对称矩阵，且A²+A=0．若A的秩为3，则二次型f(x₁，x₂，…，x_n)=x^TAx在正交变换下的标准形为________．

选项

答案f=-y₁²-y₂²-y₃²

解析由题设，二次型矩阵A满足方程A²+A=0，从而得特征方程λ²+λ=0，解得A的可能特征值为0或-1，由于A为4阶实对称矩阵，r(A)=3，知有且只有一个特征值为零，其余特征值为-1(三重)，从而可得在正交变换下二次型f(x₁，x₂，…，x_n)=x^TAx的标准形为f=-y₁²-y₂²-y₃²．

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