2. 考研
  3. 设三元二次型f=xTAx的二次型矩阵A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=－1，ξ3=（0,1,1）T为对应于λ3=－1的特征向量。 若3维非零列向量α与ξ3正交，证明α是对应于λ1=λ2=1的特征向量。

设三元二次型f=xTAx的二次型矩阵A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=－1，ξ3=（0,1,1）T为对应于λ3=－1的特征向量。 若3维非零列向量α与ξ3正交，证明α是对应于λ1=λ2=1的特征向量。

admin2022-03-23  118
问题 设三元二次型f=xTAx的二次型矩阵A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=－1，ξ3=（0,1,1）T为对应于λ3=－1的特征向量。
若3维非零列向量α与ξ3正交，证明α是对应于λ1=λ2=1的特征向量。
选项
答案由λ1=λ2=1，故A有两个线性无关的特征向量ξ1，ξ2对应于特征值1，且ξ1⊥ξ3，ξ2⊥ξ3，因为ξ1，ξ2，ξ3线性无关，但4个3维向量必线性相关，即α，ξ1，ξ2，ξ3线性相关，于是可令α=k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3。 若α与ξ3正交，则有 0=(α,ξ3）=k1（ξ1，ξ3）+k2（ξ2，ξ3）+k3（ξ3，ξ3）=k3（ξ3，ξ3）=k3｜｜ξ3｜｜2。 由于｜｜ξ3｜｜2=2≠0，得k3=0. 于是α=k1ξ1+k2ξ2，且α≠0，证得α是对应于λ1=λ2=1的特征向量。
解析
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考研数学三

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