设三元二次型f=xTAx的二次型矩阵A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=－1，ξ3=（0,1,1）T为对应于λ3=－1的特征向量。若3维非零列向量α与ξ3正交，证明α是对应于λ1=λ2=1的特征向量。

admin2022-03-23 58

问题设三元二次型f=x^TAx的二次型矩阵A的特征值为λ₁=λ₂=1，λ₃=－1，ξ₃=（0,1,1）^T为对应于λ₃=－1的特征向量。
若3维非零列向量α与ξ₃正交，证明α是对应于λ₁=λ₂=1的特征向量。

选项

答案由λ₁=λ₂=1，故A有两个线性无关的特征向量ξ₁，ξ₂对应于特征值1，且ξ₁⊥ξ₃，ξ₂⊥ξ₃，因为ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关，但4个3维向量必线性相关，即α，ξ₁，ξ₂，ξ₃线性相关，于是可令α=k₁ξ₁+k₂ξ₂+k₃ξ₃。若α与ξ₃正交，则有 0=(α,ξ₃）=k₁（ξ₁，ξ₃）+k₂（ξ₂，ξ₃）+k₃（ξ₃，ξ₃）=k₃（ξ₃，ξ₃）=k₃｜｜ξ₃｜｜²。由于｜｜ξ₃｜｜²=2≠0，得k₃=0. 于是α=k₁ξ₁+k₂ξ₂，且α≠0，证得α是对应于λ₁=λ₂=1的特征向量。

解析

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考研数学三

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设三元二次型f=xTAx的二次型矩阵A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=－1，ξ3=（0,1,1）T为对应于λ3=－1的特征向量。若3维非零列向量α与ξ3正交，证明α是对应于λ1=λ2=1的特征向量。

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