2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2)2+(x1-x3)2+(x3-x2)2， (Ⅰ)求二次型f的秩； (Ⅱ)求正交变换Q，使二次型f化为标准形．

设二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2)2+(x1-x3)2+(x3-x2)2， (Ⅰ)求二次型f的秩； (Ⅱ)求正交变换Q，使二次型f化为标准形．

admin2019-08-21  56
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2)2+(x1-x3)2+(x3-x2)2，
(Ⅰ)求二次型f的秩；
(Ⅱ)求正交变换Q，使二次型f化为标准形．
选项
答案(Ⅰ)由于[*]，二次型对应的矩阵为A，则有 [*] 所以矩阵A的秩为2． (Ⅱ)记二次型f的矩阵为A，则 [*] [*] 可知λ1=0，λ2=λ3 =3 又当λ1=0时，特征向量η1=(1，1，1)T，将η1单位化后得[*] 当λ2=λ3=3时，特征向量η2=(-1，1，0)T，η3=(-1，0，1)T，对η2，η3施行施密特正交化得 [*] 再将β2，β3单位化，得[*] 故正交变换矩阵[*]，且有x=Qy，使[*]
解析 先写出二次型的矩阵，进而求矩阵的秩、特征值和单位正交的特征向量．
错例分析:本题有以下错误解法：

错误原因：变量替换不可逆．
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考研数学二

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