设二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+(x1-x3)2+(x3-x2)2, (Ⅰ)求二次型f的秩; (Ⅱ)求正交变换Q,使二次型f化为标准形.

admin2019-08-21  25

问题 设二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+(x1-x3)2+(x3-x2)2
(Ⅰ)求二次型f的秩;
(Ⅱ)求正交变换Q,使二次型f化为标准形.

选项

答案(Ⅰ)由于[*],二次型对应的矩阵为A,则有 [*] 所以矩阵A的秩为2. (Ⅱ)记二次型f的矩阵为A,则 [*] [*] 可知λ1=0,λ23 =3 又当λ1=0时,特征向量η1=(1,1,1)T,将η1单位化后得[*] 当λ23=3时,特征向量η2=(-1,1,0)T,η3=(-1,0,1)T,对η2,η3施行施密特正交化得 [*] 再将β2,β3单位化,得[*] 故正交变换矩阵[*],且有x=Qy,使[*]

解析 先写出二次型的矩阵,进而求矩阵的秩、特征值和单位正交的特征向量.
错例分析:本题有以下错误解法:

错误原因:变量替换不可逆.
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