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设二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+(x1-x3)2+(x3-x2)2, (Ⅰ)求二次型f的秩; (Ⅱ)求正交变换Q,使二次型f化为标准形.
设二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+(x1-x3)2+(x3-x2)2, (Ⅰ)求二次型f的秩; (Ⅱ)求正交变换Q,使二次型f化为标准形.
admin
2019-08-21
36
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=(x
1
-x
2
)
2
+(x
1
-x
3
)
2
+(x
3
-x
2
)
2
,
(Ⅰ)求二次型f的秩;
(Ⅱ)求正交变换Q,使二次型f化为标准形.
选项
答案
(Ⅰ)由于[*],二次型对应的矩阵为A,则有 [*] 所以矩阵A的秩为2. (Ⅱ)记二次型f的矩阵为A,则 [*] [*] 可知λ
1
=0,λ
2
=λ
3
=3 又当λ
1
=0时,特征向量η
1
=(1,1,1)
T
,将η
1
单位化后得[*] 当λ
2
=λ
3
=3时,特征向量η
2
=(-1,1,0)
T
,η
3
=(-1,0,1)
T
,对η
2
,η
3
施行施密特正交化得 [*] 再将β
2
,β
3
单位化,得[*] 故正交变换矩阵[*],且有x=Qy,使[*]
解析
先写出二次型的矩阵,进而求矩阵的秩、特征值和单位正交的特征向量.
错例分析:本题有以下错误解法:
错误原因:变量替换
不可逆.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/eKN4777K
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考研数学二
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