设向量α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT，求： A的特征值和特征向量；

admin2018-11-11 43

问题设向量α=[a₁，a₂，…，a_n]^T，β=[b₁，b₂，…，b_n]^T都是非零向量，且满足条件α^Tβ=0，记n阶矩阵A=αβ^T，求：
A的特征值和特征向量；

选项

答案方法一利用(1)A²=0．设A的任一特征值为λ，对应于λ的特征向量为ξ，则Aξ=λξ，两端左边乘A，得A²ξ=λAξ=λ²ξ．因A²=O，所以λ²ξ=0，ξ≠0，故λ=0即矩阵A的全部特征值为0．方法二直接用特征值的定义． Aξ=αβ^Tξ=λξ， ① 由①式，若β^Tξ=0，则λξ=0，ξ≠0，得λ=0；若β^Tξ≠0，①式两端左边乘β^T，得β^Tαβ^Tξ=(β^Tα)β^Tξ=0．(β^Tξ)=λβ^Tξ，得λ=0，故A的全部特征值为0．方法三利用特征方程|λE一A|=0． [*] 因右端行列式中每一列的第2子列均成比例，故将行列式拆成2ⁿ个行列式时，凡取两列或两列以上第2子列的行列式均为零，不为零的行列式只有n+1个，它们是 [*] 因[*]故|λE一A|=λⁿ=0，故λ=0是A的全部特征值．方程组Ax=0的非零解即为A的特征向量．不妨设a₁≠0，b₁≠0，有 [*] 则A的对应于特征值0的特征向量为[*]k₁，…，k_n-1为不全为零的常数．

解析

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考研数学二

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设向量α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT，求： A的特征值和特征向量；

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设4元齐次方程组(I)为且已知另一4元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为α1=(2，一1，a+2，1)T，a2=(一1，2，4，a+8)T．求方程组(I)的一个基础解系；

设A为n阶方阵(n≥2)，A是A的伴随矩阵，试证：当r(A)=17,时，r(A)=n；

已知向量α=(1，2，1)，β=(1，0，2)，记A=αβ，若矩阵X满足2E+X=AT-AX，求矩阵X．

设A为n阶方阵，且满足A2=3A，E为n阶单位矩阵．如果A≠O，证明3E—A不可逆．

设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，且α1=(1，一1，1)。是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．求矩阵B．

设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值．若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(一1，2，一3)T都是A的属于特征值6的特征向量．求矩阵A．

求函数z=x4+y4一x2一2xy—y2的极值．

设n阶矩阵A的各行元素之和均为0，且A的伴随矩阵A*≠O，则线性方程组Ax=0的通解为__________．

设随机变量X的分布函数为F(x)，如果F(0)=，概率密度f(x)=af1(x)+bf2(x)，其中f1(x)是正态分布N(0，σ)的密度函数f2(x)是参数为λ的指数分布的密度函数，求常数a，b．

求不定积分

关于胰液分泌的调节，下列哪项错误

在过去两年中，有5架F717飞机坠毁。针对F717飞机存在设计问题的说法，该飞机制造商反驳说：调查表明，每一次事故都是由飞行员操作失误造成的。飞机制造商的上述反驳基于以下哪一项假设?

领导是为了维持秩序，在一定程度上实现预期的计划，使事物能够高效地运转，而管理则能带来变革，通常是剧烈的、积极的变革。（）

热烧伤的病理改变主要取决于

在血浆样品制备中，常用的抗凝剂是()。

根据《药品注册管理办法》，下列药品批准文号格式符合规定的是()。

根据《著作权法》，著作权保护期限不受限制的权利是()。

()是领导者在其知识、经验、才能和气质等因素的基础上形成的，体现领导方法的创造性、创新性应用。

A、Bysendingfewerdiscstothevoters.B、Byresortingtothelawsandregulations.C、Byusingstrongeranti-piracytechnolog.D

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()是领导者在其知识、经验、才能和气质等因素的基础上形成的，体现领导方法的创造性、创新性应用。

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设A为n阶方阵(n≥2)，A是A的伴随矩阵，试证：当r(A)=17,时，r(A)=n；

已知向量α=(1，2，1)，β=(1，0，2)，记A=αβ，若矩阵X满足2E+X=AT-AX，求矩阵X．