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设线性无关的函数y1，y2与y3均为二阶非齐次线性微分方程的解，C1和C2是任意常数，则该非齐次线性方程的通解是( )
设线性无关的函数y1，y2与y3均为二阶非齐次线性微分方程的解，C1和C2是任意常数，则该非齐次线性方程的通解是( )
admin
2021-02-25
78
问题
设线性无关的函数y
1
，y
2
与y
3
均为二阶非齐次线性微分方程的解，C
1
和C
2
是任意常数，则该非齐次线性方程的通解是( )
选项
A、C
1
y
1
+C
2
y
2
+y
3
B、C
1
y
1
+C
2
y
2
-(C
1
+C
2
)y
3
C、C
1
y
1
+C
2
y
2
+(1-C
1
-C
2
)y
3
D、C
1
y
1
+C
2
y
2
-(1-C
1
-C
2
)y
3
答案
C
解析
本题考查线性微分方程解的结构．线性微分方程的解主要是满足“叠加原理”．非齐次线性方程的通解等于其对应的齐次方程的通解再加上本身的一个特解．
如果设该二阶非齐次线性微分方程的形式为
y“+p(x)y‘+q(x)y=f(x)．
由题意，y
1
，y
2
，y
3
均为其线性无关的解，则
y=C
1
y
1
+C
2
y
2
+y
3
是y“+p(x)y‘+q(x)y=3f(x)的解，故A选项不正确． y=C
1
y
1
+C
2
y
2
-(C
1
+C
2
)y
3
=C
1
(y
1
-y
3
)+C
2
(y
2
-y
3
)是方程对应的齐次方程的解，故B选项不正确． y=C
1
y
1
+C
2
y
2
+(1-C
1
-C
2
)y
3
=C
1
(y
1
-y
3
)+C
2
(y
2
-y
3
)+y
3
，
其中C
1
(y
1
-y
2
)+C
2
(y
2
-y
3
)为齐次方程的通解，y
3
为原方程的一个特解，故C选项正确．
y=C
1
y
1
+C
2
y
2
-(1-C
1
-C
2
)y
3
=C
1
(y
1
+y
3
)+C
2
(y
2
+y
3
)-y
3
是y“+p(x)y‘+q(x)y=(2C
1
+2C
2
-1)f(x)的解，
综上讨论，应选C．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/eO84777K
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