设λ1，λ2是n阶矩阵A的两个不同特征值，x1，x2分别是属于λ1，λ2的特征向量．证明：x1+x2不是A的特征向量．

admin2017-07-10 47

问题设λ₁，λ₂是n阶矩阵A的两个不同特征值，x₁，x₂分别是属于λ₁，λ₂的特征向量．证明：x₁+x₂不是A的特征向量．

选项

答案用反证法：若x₁+x₂是A的属于特征值λ₀的特征向量．则有A(x₁+x₂)=λ₀ (x₁+x₂)，即Ax₁+Ax₂=λ₀x₁+λ₀x₂，因Ax_i=λ_ix₁(i=1，2)，得(λ₁一λ₀)x₁+(λ₂一λ₀)x₂=0，由于属于不同特征值的特征向量x₁与x₂线性无关，得λ₁一λ₀=0=λ₂一λ₀，[*]λ₁=λ₂，这与λ₁≠λ₂发生矛盾．

解析

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