设λ1，λ2是n阶矩阵A的两个不同特征值，x1，x2分别是属于λ1，λ2的特征向量．证明：x1+x2不是A的特征向量．

admin2017-07-10 44

问题设λ₁，λ₂是n阶矩阵A的两个不同特征值，x₁，x₂分别是属于λ₁，λ₂的特征向量．证明：x₁+x₂不是A的特征向量．

选项

答案用反证法：若x₁+x₂是A的属于特征值λ₀的特征向量．则有A(x₁+x₂)=λ₀ (x₁+x₂)，即Ax₁+Ax₂=λ₀x₁+λ₀x₂，因Ax_i=λ_ix₁(i=1，2)，得(λ₁一λ₀)x₁+(λ₂一λ₀)x₂=0，由于属于不同特征值的特征向量x₁与x₂线性无关，得λ₁一λ₀=0=λ₂一λ₀，[*]λ₁=λ₂，这与λ₁≠λ₂发生矛盾．

解析

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考研数学二

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[*]
下列广义积分发散的是[]．
求下列不定积分：
计算y＝e－x与直线y＝0之间位于第一象限内的平面图形绕x轴旋转产生的旋转体的体积．
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求下列不定积分：
设A=E-ξξT，其中层为n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵．
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A．
已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．

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