2. 考研
  3. (1998年试题，二)设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*=( )．

(1998年试题，二)设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*=( )．

admin2013-12-18  112
问题 (1998年试题，二)设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*=(    )．
选项 A、kA*
B、kn-1A*
C、knA*
D、k-1A*
答案B
解析 题设未给出A-1存在的条件，所以公式A*=｜A｜A-1不可直接应用，但由题意知结论对A可逆应该也成立，即假设A可逆，则(kA)*=｜kA｜(kA)-1==kn-1｜A｜A-1=k-1A*，从而知只有B成立．题设中k≠0，±1的条件是为保证正确选项的唯一性，严格的做法是由伴随矩阵的定义出发，设A=(aij)，aij的代数余子式为Aij，则A=(Aij)’’，令kA=(kaij)，kaij的代数余子式记为Bij,则Bij=kn-1Aij，因此(kA)*=(Bij)T=(kAij)T=kn-1(Aij)T=kn-1A*，综上，选B．
[评注]涉及到矩阵A的伴随矩阵A*的问题，一般会用到公式A*A=AA*=｜A｜E，关于伴随矩阵的结论还有｜A*｜=｜A｜n-1(n≥2)，(A*)*=｜A｜n-2A(n≥3)，(kA)*=kn-1A*(n≥2)．
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考研数学二

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