(1998年试题,二)设A是任一n(n≥3)阶方阵,A*是其伴随矩阵,又k为常数,且k≠0,±1,则必有(kA)*=( ).

admin2013-12-18  54

问题 (1998年试题,二)设A是任一n(n≥3)阶方阵,A*是其伴随矩阵,又k为常数,且k≠0,±1,则必有(kA)*=(    ).

选项 A、kA*
B、kn-1A*
C、knA*
D、k-1A*

答案B

解析 题设未给出A-1存在的条件,所以公式A*=|A|A-1不可直接应用,但由题意知结论对A可逆应该也成立,即假设A可逆,则(kA)*=|kA|(kA)-1==kn-1|A|A-1=k-1A*,从而知只有B成立.题设中k≠0,±1的条件是为保证正确选项的唯一性,严格的做法是由伴随矩阵的定义出发,设A=(aij),aij的代数余子式为Aij,则A=(Aij)’’,令kA=(kaij),kaij的代数余子式记为Bij,则Bij=kn-1Aij,因此(kA)*=(Bij)T=(kAij)T=kn-1(Aij)T=kn-1A*,综上,选B.
[评注]涉及到矩阵A的伴随矩阵A*的问题,一般会用到公式A*A=AA*=|A|E,关于伴随矩阵的结论还有|A*|=|A|n-1(n≥2),(A*)*=|A|n-2A(n≥3),(kA)*=kn-1A*(n≥2).
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