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(1998年试题,二)设A是任一n(n≥3)阶方阵,A*是其伴随矩阵,又k为常数,且k≠0,±1,则必有(kA)*=( ).
(1998年试题,二)设A是任一n(n≥3)阶方阵,A*是其伴随矩阵,又k为常数,且k≠0,±1,则必有(kA)*=( ).
admin
2013-12-18
122
问题
(1998年试题,二)设A是任一n(n≥3)阶方阵,A
*
是其伴随矩阵,又k为常数,且k≠0,±1,则必有(kA)
*
=( ).
选项
A、kA
*
B、k
n-1
A
*
C、k
n
A
*
D、k
-1
A
*
答案
B
解析
题设未给出A
-1
存在的条件,所以公式A
*
=|A|A
-1
不可直接应用,但由题意知结论对A可逆应该也成立,即假设A可逆,则(kA)
*
=|kA|(kA)
-1
=
=k
n-1
|A|A
-1
=k
-1
A
*
,从而知只有B成立.题设中k≠0,±1的条件是为保证正确选项的唯一性,严格的做法是由伴随矩阵的定义出发,设A=(a
ij
),a
ij
的代数余子式为A
ij
,则A=(A
ij
)’’,令kA=(ka
ij
),ka
ij
的代数余子式记为B
ij
,则B
ij
=k
n-1
A
ij
,因此(kA)
*
=(B
ij
)T=(kA
ij
)T=k
n-1
(A
ij
)
T
=k
n-1
A
*
,综上,选B.
[评注]涉及到矩阵A的伴随矩阵A
*
的问题,一般会用到公式A
*
A=AA
*
=|A|E,关于伴随矩阵的结论还有|A
*
|=|A|
n-1
(n≥2),(A
*
)
*
=|A|
n-2
A(n≥3),(kA)
*
=k
n-1
A
*
(n≥2).
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考研数学二
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