设总体X服从参数为λ的泊松分布，X1，X2，…，Xn是取自X的样本．，S2分别是样本均值与样本方差．试确定下列估计量中a，b的取值范围． (Ⅰ)a＋(1－a)S2是λ的无偏估计量； (Ⅱ)是λ2的无偏估计量．

admin2019-02-26 34

问题设总体X服从参数为λ的泊松分布，X₁，X₂，…，X_n是取自X的样本．

，S²分别是样本均值与样本方差．试确定下列估计量中a，b的取值范围．
(Ⅰ)a

＋(1－a)S²是λ的无偏估计量；
(Ⅱ)

是λ²的无偏估计量．

选项

答案由于总体X服从参数为λ的泊松分布，于是有 EX＝DX＝λ，E[*]＝λ， [*] 又因样本方差S²是总体方差DX的无偏估计量，故ES²＝λ． (Ⅰ)E[a[*]＋(1－a)S²]＝aE[*]＋(1－a)ES²＝aλ＋(1－a)λ＝λ．由于[*]a，a[*]＋(1－a)S²都是λ的无偏估计量，因此a的取值范围是全体实数，即a∈(－∞，＋∞)． (Ⅱ)[*]＋λ²－bλ．由于[*]的无偏估计量，所以有 ([*]－b)λ＋λ²＝λ²，b＝[*]．

解析

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考研数学一

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设总体X服从参数为λ的泊松分布，X1，X2，…，Xn是取自X的样本．，S2分别是样本均值与样本方差．试确定下列估计量中a，b的取值范围． (Ⅰ)a＋(1－a)S2是λ的无偏估计量； (Ⅱ)是λ2的无偏估计量．

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