设n阶矩阵求A的特征值和特征向量；

admin2019-12-26 26

问题设n阶矩阵

求A的特征值和特征向量；

选项

答案当b=0或n=1时，A=E，于是A的特征值为λ₁=…=λ_n=1，任意非零列向量均为特征向量；对任意n阶可逆矩阵P，均有P^－1AP=E．下面考虑b≠0且n≥2的情形．由 [*] 得A的特征值为λ₁=1+(n－1)b，λ₂=…=λ_n=1－b． 1对于λ₁=1+(n－1)b，考虑齐次线性方程组(λ₁E－A)x=0，对λ₁E-A施以初等行变换，得 [*] 解得基础解系为ξ₁=(1，1，…，1)^T，所以A的属于λ₁的全部特征向量为 k₁ξ₁=k(1，1，…，1)^T(k₁为任意非零常数)．对于λ₂=…=λ_n=1－b，考虑齐次线性方程组(λ₂E－A)x=0．对λ₂E-A施以初等行变换，得 [*] 解得基础解系为 ξ₂=(1，－1，0，…，0)^T，…，ξ_n=(1，0，0，…，－1)^T，故A的属于λ₂的全部特征向量为 k₂ξ₂+k₂ξ₃+…+k_nξ_n(k₂，k₃，…，k_n是不全为零的常数)．

解析

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考研数学三

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