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设n阶矩阵 求A的特征值和特征向量;
设n阶矩阵 求A的特征值和特征向量;
admin
2019-12-26
14
问题
设n阶矩阵
求A的特征值和特征向量;
选项
答案
当b=0或n=1时,A=E,于是A的特征值为λ
1
=…=λ
n
=1,任意非零列向量均为特征向量;对任意n阶可逆矩阵P,均有P
-1
AP=E. 下面考虑b≠0且n≥2的情形.由 [*] 得A的特征值为λ
1
=1+(n-1)b,λ
2
=…=λ
n
=1-b. 1对于λ
1
=1+(n-1)b,考虑齐次线性方程组(λ
1
E-A)x=0,对λ
1
E-A施以初等行变换,得 [*] 解得基础解系为ξ
1
=(1,1,…,1)
T
,所以A的属于λ
1
的全部特征向量为 k
1
ξ
1
=k(1,1,…,1)
T
(k
1
为任意非零常数). 对于λ
2
=…=λ
n
=1-b,考虑齐次线性方程组(λ
2
E-A)x=0.对λ
2
E-A施以初等行变换,得 [*] 解得基础解系为 ξ
2
=(1,-1,0,…,0)
T
,…,ξ
n
=(1,0,0,…,-1)
T
, 故A的属于λ
2
的全部特征向量为 k
2
ξ
2
+k
2
ξ
3
+…+k
n
ξ
n
(k
2
,k
3
,…,k
n
是不全为零的常数).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/eUD4777K
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考研数学三
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