(Ⅰ)设A，B均为n阶非零矩阵，且A2＋A＝0，B2＋B＝0，证明λ＝－1必是矩阵A与B的特征值； (Ⅱ)若AB＝BA＝0，α与β分别是A与B属于特征值λ＝－1的特征向量，证明向量组α，β线性无关．

admin2018-06-12 81

问题 (Ⅰ)设A，B均为n阶非零矩阵，且A²＋A＝0，B²＋B＝0，证明λ＝－1必是矩阵A与B的特征值；
(Ⅱ)若AB＝BA＝0，α与β分别是A与B属于特征值λ＝－1的特征向量，证明向量组α，β线性无关．

选项

答案(Ⅰ)因为(E＋A)A＝0，A≠0，知齐次方程组(E＋A)χ＝0有非零解，即行列式｜E＋A｜＝0，所以λ＝－1必是矩阵A的特征值．同理λ＝－1也必是矩阵B的特征值．类似地，由AB＝0，B≠0，知行列式｜A｜＝0，所以λ＝0必是矩阵A的特征值，同理λ＝0也必是矩阵B的特征值． (Ⅱ)对于Aα＝－α，用矩阵B左乘等式的两端有BAα＝－Bα，又因BA＝0，故 Bα＝0＝0α．即α是矩阵B属于特征值λ＝0的特征向量．那么，α与β是矩阵B的不同特征值的特征向量．因而α，β线性无关．

解析

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考研数学一

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(Ⅰ)设A，B均为n阶非零矩阵，且A2＋A＝0，B2＋B＝0，证明λ＝－1必是矩阵A与B的特征值； (Ⅱ)若AB＝BA＝0，α与β分别是A与B属于特征值λ＝－1的特征向量，证明向量组α，β线性无关．

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