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设p1,p2是矩阵A属于不同特征值的特征向量,证明:p1+p2不是矩阵A的特征向量.
设p1,p2是矩阵A属于不同特征值的特征向量,证明:p1+p2不是矩阵A的特征向量.
admin
2020-06-05
34
问题
设p
1
,p
2
是矩阵A属于不同特征值的特征向量,证明:p
1
+p
2
不是矩阵A的特征向量.
选项
答案
根据特征值与特征向量的定义,存在λ
1
,λ
2
,且λ
1
≠λ
2
,使得Ap
1
=λ
1
p
1
,Ap
2
=λ
2
p
2
.若p
1
+p
2
是矩阵A属于特征值μ的特征向量,即A(p
1
+p
2
)=μ(p
1
+p
21
),则由 A(p
1
+p
2
)=Ap
1
+Ap
2
=λ
1
p
1
+λ
2
p
2
得(μ-λ
1
)p
1
+(μ-λ
2
)p
2
=0.注意到不同特征值所对应的特征向量线性无关,因此μ-λ
1
=0,μ-λ
2
=0,即λ
1
=λ
2
.这与λ
1
≠λ
2
矛盾,所以p
1
+p
2
不是A的特征向量.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/eVv4777K
0
考研数学一
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