设p1,p2是矩阵A属于不同特征值的特征向量,证明:p1+p2不是矩阵A的特征向量.

admin2020-06-05  39

问题 设p1,p2是矩阵A属于不同特征值的特征向量,证明:p1+p2不是矩阵A的特征向量.

选项

答案根据特征值与特征向量的定义,存在λ1,λ2,且λ1≠λ2,使得Ap1=λ1p1,Ap2=λ2p2.若p1+p2是矩阵A属于特征值μ的特征向量,即A(p1+p2)=μ(p1+p21),则由 A(p1+p2)=Ap1+Ap2=λ1p1+λ2p2 得(μ-λ1)p1+(μ-λ2)p2=0.注意到不同特征值所对应的特征向量线性无关,因此μ-λ1=0,μ-λ2=0,即λ1=λ2.这与λ1≠λ2矛盾,所以p1+p2不是A的特征向量.

解析
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