设p1，p2是矩阵A属于不同特征值的特征向量，证明：p1＋p2不是矩阵A的特征向量．

admin2020-06-05 62

问题设p₁，p₂是矩阵A属于不同特征值的特征向量，证明：p₁＋p₂不是矩阵A的特征向量．

选项

答案根据特征值与特征向量的定义，存在λ₁，λ₂，且λ₁≠λ₂，使得Ap₁＝λ₁p₁，Ap₂＝λ₂p₂．若p₁＋p₂是矩阵A属于特征值μ的特征向量，即A(p₁＋p₂)＝μ(p₁＋p₂₁)，则由 A(p₁＋p₂)＝Ap₁＋Ap₂＝λ₁p₁＋λ₂p₂ 得(μ－λ₁)p₁＋(μ－λ₂)p₂＝0．注意到不同特征值所对应的特征向量线性无关，因此μ－λ₁＝0，μ－λ₂＝0，即λ₁＝λ₂．这与λ₁≠λ₂矛盾，所以p₁＋p₂不是A的特征向量．

解析

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